93 номер
Краткий ответ по рис. 57
а) \(D(f)=[-8;5]\), \(E(f)=[-2;4]\).
Нули: \(x=1\), \(x=5\).
\(f(x)>0\) при \(x\in[-8;1)\); \(f(x)<0\) при \(x\in(1;5)\).
Возрастает на \([-4;0]\) и \([4;5]\); убывает на \([-8;-4]\) и \([0;4]\).
Экстремумы: \(x_{\min}=-4,\ 4\), \(x_{\max}=0\).
Наибольшее значение \(4\) (при \(x=-8\) и \(x=0\)), наименьшее \(-2\) (при \(x=4\)).
Ни чётная, ни нечётная; непериодическая.
б) \(D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\), \(E(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\).
Нуль: \(x=0\).
\(f(x)>0\) на \((-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\); \(f(x)<0\) на \((-2;0)\).
Возрастает на \((-\infty;-2)\) и на \((-2;+\infty)\).
Экстремумов нет; наибольшего и наименьшего значений нет.
Ни чётная, ни нечётная; непериодическая.
Асимптоты: \(x=-2\), \(y=2\).
в) \(D(f)=[-6;6]\), \(E(f)=[-2;2]\).
Нули: \(x=-4,\ 0,\ 4\).
\(f(x)>0\) на \((-4;0)\cup(4;6]\); \(f(x)<0\) на \([-6;-4)\cup(0;4)\).
Возрастает на \([-6;-2]\) и \([2;6]\); убывает на \([-2;2]\).
Экстремумы: \(x_{\max}=-2\), \(x_{\min}=2\).
Наибольшее значение \(2\), наименьшее \(-2\).
Функция нечётная; на данном отрезке непериодическая, но график является фрагментом периодической функции с периодом \(8\).
г) \(D(f)=[-5;7]\), \(E(f)=[-3;3]\).
Нули: \(x=-4{,}5;\ -0{,}75;\ 0{,}75;\ 4{,}5\).
\(f(x)>0\) на \([-5;-4{,}5)\cup(-0{,}75;0{,}75)\cup(4{,}5;7]\);
\(f(x)<0\) на \((-4{,}5;-0{,}75)\cup(0{,}75;4{,}5)\).
Возрастает на \([-3;0]\) и \([3;7]\); убывает на \([-5;-3]\) и \([0;3]\).
Экстремумы: \(x_{\min}=-3,\ 3\), \(x_{\max}=0\).
Наибольшее значение \(3\) (при \(x=7\)), наименьшее \(-3\) (при \(x=-3\) и \(x=3\)).
Ни чётная, ни нечётная; непериодическая.
Как читать график по общей схеме
- Область определения \(D(f)\) — проекция графика на ось \(Ox\): смотрим, при каких \(x\) есть точки графика.
- Область значений \(E(f)\) — проекция на ось \(Oy\): от самого низкого до самого высокого уровня графика.
- Нули — точки пересечения с осью \(Ox\); знак — где график выше оси \(Ox\), там \(f(x)>0\), где ниже — \(f(x)<0\).
- Монотонность — движение слева направо: график идёт вверх — функция возрастает, вниз — убывает.
- Экстремумы — вершины «горок» (максимумы) и «ям» (минимумы). Концы области определения обычно не считают точками экстремума.
- Чётность — график симметричен относительно оси \(Oy\) (чётная) или относительно начала координат (нечётная).
- Периодичность — рисунок повторяется через некоторый промежуток \(T\).
- Наибольшее и наименьшее значения — самая высокая и самая низкая точки графика.
Проверка. Например, для графика г) на участке \([-3;0]\) прямая имеет уравнение \(y=\frac43x+1\). При \(y=0\) получаем \(x=-0{,}75\), что совпадает с нулём, прочитанным по графику. Для графика в) точки \((-2;2)\) и \((2;-2)\) симметричны относительно начала координат, поэтому функция нечётная.
Обсуждение
4 сообщенияИ 95 пример реши
Пришли, пожалуйста, условие № 95 — фото страницы или текст задания. По номеру без условия решить не могу: нужно видеть графики/функции из примера.
95 пример
Ниже — решение № 95 (все пункты) по той же схеме: область определения и значений, нули, знаки, монотонность, экстремумы, чётность, периодичность и точки для построения графика.
95 а) \(f(x)=5-2x\)
- \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\).
- Нуль функции: \(5-2x=0 \Rightarrow x=2{,}5\).
- \(f(x)>0\) при \(x<2{,}5\); \(f(x)<0\) при \(x>2{,}5\).
- Функция убывает на всей области определения, так как коэффициент при \(x\) отрицателен: \(k=-2\).
- Экстремумов нет, наибольшего и наименьшего значений нет.
- Функция общего вида, не является ни чётной, ни нечётной; непериодическая.
- График — прямая. Для построения:
\((0;5)\), \((2{,}5;0)\). Например, ещё \((1;3)\).
95 б) \(f(x)=3-2x-x^2\)
Перепишем в удобном виде:
\[ f(x)=-(x+1)^2+4. \]
- \(D(f)=\mathbb R\).
- \(E(f)=(-\infty;4]\), так как ветви параболы направлены вниз.
- Нули:
\[ 3-2x-x^2=0 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow x_1=-3,\ x_2=1. \] - \(f(x)>0\) при \(-3<x<1\);
\(f(x)<0\) при \(x<-3\) или \(x>1\). - Возрастает на \((-\infty;-1]\), убывает на \([-1;+\infty)\).
- Максимум: \(f(-1)=4\). Минимума нет.
- Функция общего вида, непериодическая.
- График — парабола ветвями вниз, вершина \((-1;4)\), ось симметрии \(x=-1\).
Точки для построения: \((-3;0)\), \((-1;4)\), \((1;0)\), \((0;3)\), \((-2;3)\).
95 в) \(f(x)=3x-2\)
- \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\).
- Нуль:
\[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac23. \] - \(f(x)>0\) при \(x>\frac23\);
\(f(x)<0\) при \(x<\frac23\). - Функция возрастает на всей области определения, так как \(k=3>0\).
- Экстремумов нет, наибольшего и наименьшего значений нет.
- Функция общего вида, непериодическая.
- График — прямая через точки \((0;-2)\) и \(\left(\frac23;0\right)\). Например, ещё \((1;1)\).
95 г) \(f(x)=x^2-3x+2\)
Выделим полный квадрат:
\[ x^2-3x+2=\left(x-\frac32\right)^2-\frac14. \]
- \(D(f)=\mathbb R\).
- \(E(f)=\left[-\frac14;+\infty\right)\), ветви параболы направлены вверх.
- Нули:
\[ x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0, \] то есть \(x=1\), \(x=2\). - \(f(x)>0\) при \(x<1\) или \(x>2\);
\(f(x)<0\) при \(1<x<2\). - Убывает на \(\left(-\infty;\frac32\right]\), возрастает на \(\left[\frac32;+\infty\right)\).
- Минимум:
\[ f\left(\frac32\right)=-\frac14. \] Наибольшего значения нет. - Функция общего вида, непериодическая.
- График — парабола ветвями вверх, вершина \(\left(\frac32;-\frac14\right)\), ось симметрии \(x=\frac32\).
Точки для построения: \((0;2)\), \((1;0)\), \(\left(\frac32;-\frac14\right)\), \((2;0)\), \((3;2)\).
Итог:
а) и в) — прямые;
б) — парабола ветвями вниз с вершиной \((-1;4)\);
г) — парабола ветвями вверх с вершиной \(\left(\frac32;-\frac14\right)\).
Асимптот у всех этих функций нет, так как это многочлены.
