Реши 6 под буквой Б

Краткий ответ: \[ x\in(-\infty;\log_5(65-8\sqrt{66})]\cup[\log_5(65+8\sqrt{66});+\infty). \]

Эту же запись можно сократить: \(x\le-a\) или \(x\ge a\), где
\[ a=\log_5(65+8\sqrt{66}),\qquad a\approx 3{,}02. \]

Как решать

Дано: \[ 5\cdot 5^{2x}-26\cdot 5^{x+2}+5\ge 0. \]

1. Замена.
Пусть \[ t=5^x,\qquad t>0. \] Тогда \[ 5^{2x}=(5^x)^2=t^2, \] \[ 5^{x+2}=5^x\cdot 5^2=25t. \]

2. Получаем квадратное неравенство: \[ 5t^2-26\cdot 25t+5\ge 0, \] \[ 5t^2-650t+5\ge 0. \] Делим на \(5>0\), знак неравенства не меняется: \[ t^2-130t+1\ge 0. \]

3. Находим корни: \[ t^2-130t+1=0, \] \[ t_{1,2}=\frac{130\pm\sqrt{130^2-4}}{2} =65\pm 8\sqrt{66}. \]

То есть \[ t_1=65-8\sqrt{66},\qquad t_2=65+8\sqrt{66}. \] Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Ветви параболы \(t^2-130t+1\) направлены вверх, значит неравенство выполнено вне корней: \[ t\le 65-8\sqrt{66} \quad\text{или}\quad t\ge 65+8\sqrt{66}. \]

4. Возвращаемся к \(x\): \[ 5^x\le 65-8\sqrt{66} \quad\text{или}\quad 5^x\ge 65+8\sqrt{66}. \] Так как основание \(5>1\), знак неравенства при логарифмировании сохраняется: \[ x\le \log_5(65-8\sqrt{66}) \quad\text{или}\quad x\ge \log_5(65+8\sqrt{66}). \]

Проверка

При \(x=0\): \[ 5\cdot 1-26\cdot 25+5=-640<0, \] значит \(x=0\) действительно не входит в ответ.

При \(x=4\): \[ 5\cdot 5^8-26\cdot 5^6+5>0, \] то есть точка из правого промежутка подходит.

Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;\log_5(65-8\sqrt{66})]\cup[\log_5(65+8\sqrt{66});+\infty)} \]