в треугольнике авс проведена медиана ВМ.найдите градусную меру угла А ,если угол С равен 71,а ВМ=АМ=МС
Ответ: \(\angle A=19^\circ\).
Почему так:
- \(M\) — середина \(AC\), потому что \(BM\) — медиана. Значит, \[ AM=MC. \]
- По условию \[ BM=AM=MC. \] Следовательно, точки \(A\), \(B\), \(C\) одинаково удалены от \(M\). Значит, \(M\) — центр окружности, описанной около треугольника, а все три вершины лежат на этой окружности.
- Точки \(A\), \(M\), \(C\) лежат на одной прямой, причём \(M\) — середина \(AC\). Поэтому \(AC\) — диаметр окружности.
- Угол \(B\) опирается на диаметр \(AC\), значит, \[ \angle B=90^\circ. \]
- Сумма углов треугольника: \[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ. \] Подставляем: \[ \angle A+90^\circ+71^\circ=180^\circ, \] \[ \angle A=19^\circ. \]
Проверка: \(19^\circ+90^\circ+71^\circ=180^\circ\). Всё сходится.
Обсуждение
6 сообщенийНа изображении — та же задача, которую мы уже разобрали: \(BM\) — медиана, \(BM=AM=MC\), \(\angle C=71^\circ\). Поэтому ответ остаётся прежним:
\[ \angle A=180^\circ-90^\circ-71^\circ=19^\circ. \]
Кратко: \(M\) — центр описанной окружности, \(AC\) — диаметр, значит, \(\angle B=90^\circ\).
Откуда взялась окружность)
Окружность не «взялась из воздуха» — её можно построить по условию.
Главная идея. Если точка одинаково удалена от нескольких точек, то все эти точки лежат на окружности с центром в ней.
У нас: \[ AM=BM=MC. \] То есть точка \(M\) находится на одном и том же расстоянии от \(A\), \(B\) и \(C\). Значит, если взять окружность с центром \(M\) и радиусом \(MA\), то она пройдёт и через \(B\) (так как \(MB=MA\)), и через \(C\) (так как \(MC=MA\)).
Такая окружность проходит через все три вершины треугольника, поэтому она и есть описанная окружность треугольника \(ABC\), только её центр \(M\) лежит не внутри, а на стороне \(AC\).
А раз \(M\) лежит на \(AC\) (медиана идёт в середину стороны) и является центром, то \(AC\) проходит через центр — это диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому \(\angle B=90^\circ\).
Можно и вообще без окружности. Треугольники \(ABM\) и \(CBM\) равнобедренные, ведь \(AM=BM\) и \(BM=MC\).
Обозначим: \[ \angle BAM=\angle ABM=x,\qquad \angle BCM=\angle CBM=y. \] По условию \(\angle C=y=71^\circ\), а \(\angle A=x\).
Угол \(B\) состоит из двух частей: \(\angle B = x+y\). Сумма углов треугольника: \[ x+(x+y)+y=180^\circ \Rightarrow 2x+2y=180^\circ \Rightarrow x+y=90^\circ. \] Значит, \(\angle B=90^\circ\), и \[ \angle A=180^\circ-90^\circ-71^\circ=19^\circ. \]
Оба пути дают одно и то же: \(\angle A=19^\circ\). Окружность — просто удобный способ это заметить.
Решение без окружности
Решение без окружности
Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) лежит на стороне \(AC\). Поэтому лучи \(AM\) и \(CM\) совпадают с направлением стороны \(AC\).
В треугольнике \(ABM\): \[ AM=BM, \] значит, он равнобедренный с основанием \(AB\). Углы при основании равны: \[ \angle BAM=\angle ABM. \] Но \(\angle BAM=\angle A\). Обозначим: \[ \angle A=x. \] Тогда \[ \angle ABM=x. \]
В треугольнике \(BMC\): \[ BM=MC, \] значит, он равнобедренный с основанием \(BC\). Поэтому \[ \angle MBC=\angle BCM. \] А \(\angle BCM=\angle C=71^\circ\). Следовательно, \[ \angle MBC=71^\circ. \]
Теперь угол \(B\) всего треугольника \(ABC\): \[ \angle B=\angle ABM+\angle MBC=x+71^\circ. \]
Сумма углов треугольника \(ABC\): \[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ. \] Подставляем: \[ x+(x+71^\circ)+71^\circ=180^\circ, \] \[ 2x+142^\circ=180^\circ, \] \[ 2x=38^\circ, \] \[ x=19^\circ. \]
Ответ: \[ \boxed{\angle A=19^\circ} \]
Проверка: \[ 19^\circ+90^\circ+71^\circ=180^\circ. \]
