Объясните тему упростите выражения с разными примерами со сложными и лёгкими

Ниже — рабочая «шпаргалка» по правилам 7–8 класса. Не нужно зубрить всё сразу: важно понимать, откуда берётся каждое правило и когда его применять.

7 класс

1. Степени с натуральным показателем

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}\ (a\neq0) \]

\[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\neq0) \]

\[ a^0=1\ (a\neq0),\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ (a\neq0) \]

Принцип: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при возведении степени в степень — умножаются.

2. Одночлены

Стандартный вид: число (коэффициент) стоит первым, каждая переменная встречается один раз. Степень одночлена — сумма показателей всех переменных.

3. Многочлены

\[ a(b+c)=ab+ac \]

\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \]

Правило: чтобы умножить многочлен наКратко: обязательных формул не так много — это формулы сокращённого умножения, свойства степеней и корней, формулы квадратного уравнения и Виета, разложение квадратного трёхчлена. Всё остальное — их следствия.

7 класс

Формулы сокращённого умножения (знать наизусть):

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]

\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]

\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]

\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]

Свойства степеней с натуральным показателем:

\[ a^m a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad (ab)^n=a^n b^n \]

Линейная функция \(y=kx+b\): \(k\) — угловой коэффициент; графики параллельны при равных \(k\); прямая проходит через начало координат при \(b=0\).

8 класс

Квадратные корни (\(a\ge0,\ b\ge0\)):

\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\ (b>0) \]

\[ (\sqrt a)^2=a,\qquad \sqrt{a^2}=|a| \]

Последняя формула — самая коварная: \(\sqrt{(-3)^2}=3\), а не \(-3\).

Квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0,\ a\neq0\):

\[ D=b^2-4ac \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

При \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.

Теорема Виета (для приведённого \(x^2+px+q=0\)):

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q \]

Разложение квадратного трёхчлена:

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \]

Вершина параболы \(y=ax^2+bx+c\):

\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0) \]

Свойства неравенств: обе части можно умножать или делить на положительное число, знак сохраняется; на отрицательное — знак неравенства меняется на противоположный.

Рациональные дроби: сокращать можно только множители; ОДЗ — знаменатель не равен нулю.

---

Что действительно стоит помнить наизусть: пять ФСУ (\((a\pm b)^2\), \(a^2-b^2\), \(a^3\pm b^3\)), \(\sqrt{a^2}=|a|\), формулу дискриминанта и корней, Виета, \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

Частая ошибка: \((a+b)^2\neq a^2+b^2\) и \(\sqrt{a^2}\neq a\) при \(a<0\). Проверяй формулы подстановкой чисел — например, \(a=2,\ b=1\).

Кратко: линейная функция задаётся формулой

\[ y=kx+b, \]

где \(k\) и \(b\) — числа, \(x\) — независимая переменная. Её график — прямая. Коэффициент \(k\) отвечает за наклон, \(b\) — за сдвиг вверх-вниз (точка пересечения с осью \(Oy\)).

Основные формулы

Общий вид:

\[ y=kx+b \]

Прямая пропорциональность — частный случай при \(b=0\):

\[ y=kx \]

График проходит через начало координат.

Угловой коэффициент по двум точкам \(A(x_1;y_1)\), \(B(x_2;y_2)\):

\[ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad (x_1\neq x_2) \]

Свободный член:

\[ b=y_1-kx_1 \]

Уравнение прямой через точку с известным \(k\):

\[ y=k(x-x_1)+y_1 \]

Ноль функции (точка пересечения с осью \(Ox\), при \(k\neq0\)):

\[ x=-\frac{b}{k} \]

Правила и свойства

1. Область определения: все \(x\), то есть \(x\in\mathbb{R}\) (если в задаче нет ограничений).
2. Область значений: при \(k\neq0\) все \(y\); при \(k=0\) только \(y=b\).
3. Если \(k>0\) — функция возрастает: большему \(x\) соответствует больший \(y\). Прямая идёт «вверх вправо».
4. Если \(k<0\) — функция убывает. Прямая идёт «вниз вправо».
5. Если \(k=0\) — получаем \(y=b\): постоянная функция, график — горизонтальная прямая. Она не возрастает и не убывает.
6. Пересечение с осью \(Oy\): подставляем \(x=0\), получаем \(y=b\), точка \((0;b)\).
7. Пересечение с осью \(Ox\): подставляем \(y=0\), получаем \(kx+b=0\), то есть \(x=-\frac{b}{k}\).
8. Параллельность: прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) параллельны, если

\[ k_1=k_2,\qquad b_1\neq b_2. \]

Если ещё и \(b_1=b_2\), прямые совпадают.

9. Перпендикулярность (встречается в 8 классе):

\[ k_1\cdot k_2=-1. \]

10. Пересечение двух прямых: решаем систему

\[ \begin{cases} y=k_1x+b_1\\ y=k_2x+b_2\end{cases} \]

При \(k_1\neq k_2\) есть одна точка пересечения, при \(k_1=k_2\) и \(b_1\neq b_2\) — нет, при полном совпадении — бесконечно много.

Пример 1 (лёгкий): построить график

\[ y=2x-3. \]

Берём две точки:

\[ x=0 \Rightarrow y=-3,\qquad x=2 \Rightarrow y=1. \]

Через \((0;-3)\) и \((2;1)\) проводим прямую. Так как \(k=2>0\), функция возрастает; с осью \(Ox\) пересекается при \(2x-3=0\), то есть \(x=1{,}5\).

Проверка: подставим \(x=1\): \(y=2-3=-1\). Точка \((1;-1)\) должна лежать на прямой — действительно лежит.

Пример 2 (средний): найти формулу по двум точкам

Прямая проходит через \(A(1;3)\) и \(B(3;7)\). Найти \(y=kx+b\).

\[ k=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2, \]

\[ b=3-2\cdot1=1. \]

Ответ:

\[ y=2x+1. \]

Проверка: при \(x=3\) получаем \(y=2\cdot3+1=7\) — совпало с точкой \(B\).

Пример 3 (сложнее): прямая, параллельная данной

Составить формулу прямой, параллельной \(y=-3x+2\) и проходящей через точку \((1;-4)\).

Параллельность даёт \(k=-3\). Подставляем точку:

\[ -4=-3\cdot1+b \Rightarrow b=-4+3=-1. \]

Ответ:

\[ y=-3x-1. \]

Проверка: при \(x=1\): \(y=-3-1=-4\) — точка подходит, а коэффициент \(k\) совпадает с исходным, значит прямые параллельны.

Пример 4: где прямая выше

При каких \(x\) график \(y=2x-1\) лежит выше графика \(y=-x+5\)?

\[ 2x-1>-x+5 \Rightarrow 3x>6 \Rightarrow x>2. \]

Проверка: при \(x=3\): первая даёт \(5\), вторая \(2\); \(5>2\) — верно. При \(x=0\): \(-1<5\) — верно, что \(x>2\) не выполняется.

Типичные ошибки

• Путают \(k\) и \(b\): \(b\) — это \(y\) при \(x=0\), а не наоборот.
• Считают, что при \(k=0\) функция возрастает — нет, она постоянна.
• При нахождении \(k\) по точкам путают порядок: вычитать нужно «конец минус начало» в числителе и знаменателе одинаково.
• Думают, что вертикальная прямая \(x=c\) — это линейная функция. Нет: такая прямая не задаётся формулой \(y=kx+b\).
• Забывают, что при \(k_1=k_2\) и \(b_1=b_2\) прямые не просто параллельны, а совпадают.

Что запомнить наизусть: \(y=kx+b\), \(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), \(b\) — точка \((0;b)\), параллельность \(k_1=k_2\), перпендикулярность \(k_1k_2=-1\).

Кратко: в 8 классе почти вся алгебра вырастает из трёх «корней»: арифметические дроби и действия с числами (5–6 класс), преобразование выражений (6–7 класс) и уравнения, координаты, графики (6–7 класс). Ниже — то, что реально понадобится, с указанием, где это «выстрелит» в 8 классе.

---

5 класс

1. Порядок действий. Сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.

2. Свойства действий (нужны для устного счёта и преобразований):

\[ a+b=b+a,\qquad ab=ba \]

\[ (a+b)+c=a+(b+c),\qquad (ab)c=a(bc) \]

\[ a(b+c)=ab+ac \]

Последнее — распределительное свойство; именно оно потом превращается в «раскрытие скобок».

3. Дроби. Основное свойство дроби:

\[ \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad (b\neq0,\ c\neq0) \]

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — через общий знаменатель; умножение:

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]

деление — умножение на обратную дробь:

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} \]

4. НОД и НОК, признаки делимости (на 2, 3, 5, 9, 10) — нужны для сокращения дробей и приведения к общему знаменателю.

5. Проценты и среднее арифметическое.

\[ 1\%=\frac{1}{100},\qquad \text{среднее}=\frac{\text{сумма}}{\text{количество}} \]

---

6 класс

1. Отрицательные числа и модуль. Это фундамент 8 класса: без знака не решается ни одно уравнение и неравенство.

\[ |a|=a \text{ при } a\ge0,\qquad |a|=-a \text{ при } a<0 \]

Правила знаков при умножении и делении:

\[ (-)\cdot(-)=+,\qquad (-)\cdot(+)=- \]

2. Координатная прямая и координатная плоскость. Точка задаётся парой \((x;y)\); это прямо готовит построение графиков в 8 классе.

3. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Правило знака перед скобкой:

\[ a-(b+c)=a-b-c \]

\[ a-(b-c)=a-b+c \]

4. Решение уравнений. Перенос слагаемого через знак равенства меняет его знак:

\[ x+5=12 \Rightarrow x=12-5=7 \]

Обе части можно умножать и делить на одно и то же ненулевое число.

5. Пропорции. Основное свойство:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Leftrightarrow\ ad=bc \]

Отсюда же проценты, масштаб, задачи на концентрацию — всё это встречается в 8 классе в текстовых задачах.

6. Окружность и круг (пригодится для геометрии 8 класса):

\[ C=2\pi R,\qquad S=\pi R^2 \]

---

7 класс

1. Свойства степеней с натуральным показателем:

\[ a^m a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn} \]

\[ (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]

2. Одночлены и многочлены: приведение к стандартному виду, сложение, умножение, умножение многочлена на многочлен.

3. Формулы сокращённого умножения — главный инструмент 8 класса:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

\[ a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) \]

4. Разложение на множители: вынесение общего множителя, способ группировки, по формулам.

5. Линейное уравнение \(ax+b=0\) и системы линейных уравнений (подстановка, сложение, графический способ).

6. Линейная функция \(y=kx+b\): график — прямая, \(k\) — наклон, \(b\) — сдвиг.

---

Что именно «пригодится» в 8 классе

Тема 8 класса	Что нужно из 5–7
Рациональные дроби, сокращение, сложение дробей	основное свойство дроби, разложение на множители, ФСУ, знаки
Квадратные корни	степени, свойства действий, модуль
Квадратные уравнения	раскрытие скобок, ФСУ, действия с отрицательными числами
Неравенства	координатная прямая, свойства действий, знак при умножении на минус
Квадратичная функция, графики	координатная плоскость, линейная функция, \(y=x^2\)
Текстовые задачи	пропорции, проценты, составление уравнения

---

Три правила, которые в 8 классе нарушают чаще всего:

1. Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого: \(-(a-b)=-a+b\).
2. При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак переворачивается.
3. Сокращать в дроби можно только множители, а не слагаемые: \(\frac{2(x+3)}{2}=x+3\), но \(\frac{x+3}{3}\neq x\).

Проверка: если хочешь понять, готов ли ты к 8 классу, попробуй упростить \(\frac{x^2-4}{x-2}\) и решить \(3(x-2)=2x+1\). Первое — дроби и ФСУ, второе — раскрытие скобок и перенос. Получится — база 5–7 класса на месте.

Кратко: курс алгебры 7 класса — это пять больших блоков: выражения и тождественные преобразования, уравнения с одной переменной, функции и графики, степени, одночлены и многочлены (с ФСУ), системы линейных уравнений с двумя переменными. В части программ добавляются начала статистики.

---

1. Выражения, тождества, преобразования

Числовое выражение — только числа и знаки действий. Выражение с переменной содержит буквы.

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Замена выражения тождественно равным — тождественное преобразование.

Главные инструменты:

• раскрытие скобок: \(a-(b-c)=a-b+c\);
• приведение подобных: \(5x-3x+2x=4x\);
• распределительное свойство: \(a(b+c)=ab+ac\).

ОДЗ (область допустимых значений): знаменатель не равен нулю, под корнем чётной степени — неотрицательное число.

---

2. Уравнения с одной переменной

Линейное уравнение приводится к виду

\[ ax=b. \]

Три случая:

\[ a\neq0 \Rightarrow x=\frac{b}{a}; \]

\[ a=0,\ b=0 \Rightarrow \text{корней бесконечно много (любое } x\text{)}; \]

\[ a=0,\ b\neq0 \Rightarrow \text{корней нет}. \]

Пример. \(3(x-2)=2x+1\).

\[ 3x-6=2x+1 \Rightarrow 3x-2x=1+6 \Rightarrow x=7. \]

Проверка: слева \(3\cdot5=15\), справа \(2\cdot7+1=15\). Верно.

Правило равносильности: перенос слагаемого через знак равенства меняет его знак; умножать и делить обе части можно на одно и то же ненулевое число.

Задачи на составление уравнения: за \(x\) берут искомую (или меньшую) величину, остальные выражают через неё, затем записывают условие.

---

3. Функции и графики

Функция — зависимость, при которой каждому \(x\) соответствует единственное \(y\). Обозначение \(y=f(x)\); \(x\) — аргумент, \(y\) — значение функции.

Линейная функция:

\[ y=kx+b \]

График — прямая. При \(k>0\) возрастает, при \(k<0\) убывает, при \(k=0\) постоянна. Точка пересечения с \(Oy\): \((0;b)\). Параллельность: равные \(k\).

Прямая пропорциональность — случай \(b=0\):

\[ y=kx \]

График проходит через начало координат; \(k=\dfrac{y}{x}\).

Пример. \(y=-2x+3\): при \(x=0\) будет \(y=3\), при \(x=1\) будет \(y=1\). Через \((0;3)\) и \((1;1)\) проводим прямую — она убывает, так как \(k<0\).

---

4. Степени с натуральным показателем. Одночлены

Определение:

\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n \text{ раз}},\qquad a^1=a,\qquad a^0=1\ (a\neq0). \]

Свойства (\(a\neq0\) там, где есть деление):

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]

\[ a^m:a^n=a^{m-n} \]

\[ (a^m)^n=a^{mn} \]

\[ (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]

Одночлен стандартного вида: сначала числовой коэффициент, затем каждая переменная один раз.

Степень одночлена — сумма показателей всех переменных. Например, \(-3a^2b^3\) имеет степень \(5\).

Умножение одночленов: перемножаем коэффициенты и складываем показатели одинаковых букв:

\[ (-2a^2b)(3ab^3)=-6a^3b^4. \]

---

5. Многочлены и ФСУ

Многочлен — сумма одночленов. Степень многочлена — наибольшая из степеней его членов в стандартном виде.

Сложение и вычитание: приводим подобные.

Умножение на одночлен и на многочлен:

\[ a(b+c)=ab+ac \]

\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \]

Формулы сокращённого умножения — наизусть:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

В программах, где дают кубы:

\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]

\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]

\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]

Разложение на множители — три способа:

1. вынесение общего множителя: \(6x^3-4x^2=2x^2(3x-2)\);
2. группировка: \(ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)\);
3. по формулам: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Пример посложнее. Упростить

\[ (x+3)^2-(x-2)(x+2). \]

\[ =x^2+6x+9-(x^2-4)=x^2+6x+9-x^2+4=6x+13. \]

Проверка при \(x=1\): исходно \(16-(-1)\cdot3=19\), после упрощения \(6+13=19\). Совпало.

Применение ФСУ к вычислениям: \(51^2-49^2=(51-49)(51+49)=2\cdot100=200\).

---

6. Системы линейных уравнений с двумя переменными

Общий вид:

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]

Три способа решения: графический (точка пересечения прямых), подстановка (выразить одну переменную), алгебраическое сложение (сложить уравнения, чтобы одна переменная ушла).

Сколько решений:

• прямые пересекаются (\(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\)) — одно решение;
• параллельны (\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)) — решений нет;
• совпадают (все три отношения равны) — бесконечно много.

Пример (сложение).

\[ \begin{cases} 2x+y=7\\ x-y=2 \end{cases} \]

Складываем: \(3x=9\), значит \(x=3\). Тогда \(y=7-2\cdot3=1\).

Проверка во втором уравнении: \(3-1=2\). Верно. Ответ: \((3;1)\).

---

7. Начала статистики (в части программ)

Среднее арифметическое:

\[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} \]

Медиана — число посередине упорядоченного ряда (для чётного \(n\) — среднее двух средних). Мода — самое частое значение. Размах — разность наибольшего и наименьшего.

---

Что помнить наизусть

• Свойства степеней: \(a^m a^n=a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^n b^n\).
• ФСУ: \((a\pm b)^2\) и \(a^2-b^2\) — обязательно.
• Формулу \(y=kx+b\) и смысл \(k\) и \(b\).
• Случаи для \(ax=b\).

Типичные ошибки

1. \((a+b)^2\neq a^2+b^2\).
2. Минус перед скобкой: \(-(a-b)=-a+b\), а не \(-a-b\).
3. \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), а не \(a^{mn}\) — умножение степеней и возведение в степень путают постоянно.
4. При делении обеих частей уравнения на выражение с переменной можно потерять корень: сначала проверяй случай «делитель равен нулю».

Как проверить себя: реши три задания — упрости \((2x-1)^2-4x^2\), разложи на множители \(3a^2-12\), реши систему \(\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\). Должно получиться \(1-4x\), \(3(a-2)(a+2)\), \((3;2)\).

Кратко: весь курс алгебры 7 класса укладывается в 6 блоков. Ниже — сжатая карта курса: формула + смысл + где ошибаются. Если нужен подробный разбор любого блока — скажи номер.

---

Блок 1. Выражения и тождественные преобразования

• Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.
• Тождественное преобразование — замена выражения на равное ему.

Инструменты:

\[ a(b+c)=ab+ac,\qquad a-(b-c)=a-b+c \]

\[ 5x-3x+2x=4x \quad\text{(подобные слагаемые)} \]

ОДЗ: знаменатель \(\neq0\); под корнем чётной степени — число \(\ge0\).

---

Блок 2. Уравнения с одной переменной

Любое линейное уравнение сводится к

\[ ax=b. \]

\[ a\neq0 \Rightarrow x=\frac{b}{a};\qquad a=0,\ b=0 \Rightarrow x \text{ любое};\qquad a=0,\ b\neq0 \Rightarrow \text{корней нет}. \]

Правила: перенос через «=» меняет знак; умножение и деление обеих частей — только на ненулевое число.

Ошибка: делить обе части на выражение с переменной, не проверив, не равно ли оно нулю.

---

Блок 3. Функции и графики

\[ y=kx+b \quad\text{— линейная функция, график — прямая.} \]

\[ y=kx \quad\text{— прямая пропорциональность, проходит через } (0;0). \]

• \(k>0\) — возрастает, \(k<0\) — убывает, \(k=0\) — постоянна;
• график пересекает \(Oy\) в точке \((0;b)\);
• \(k\) показывает, на сколько \(y\) меняется при \(x\), равном \(1\).

Ошибка: считать \(b\) наклоном. Наклон — это \(k\).

---

Блок 4. Степени с натуральным показателем. Одночлены

\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n},\qquad a^0=1\ (a\neq0). \]

\[ a^m a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn} \]

\[ (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \]

Одночлен стандартного вида: коэффициент первым, каждая переменная один раз. Его степень — сумма показателей: у \(-3a^2b^3\) степень \(5\).

Ошибка №1 по частоте: \(a^m a^n=a^{m+n}\), но \((a^m)^n=a^{mn}\). Умножение — складываем, степень в степень — умножаем.

---

Блок 5. Многочлены, ФСУ, разложение на множители

\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \]

ФСУ (наизусть):

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

В части программ — кубы:

\[ a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) \]

Три способа разложения на множители:

1. общий множитель: \(6x^3-4x^2=2x^2(3x-2)\);
2. группировка: \(ax+ay+bx+by=(x+y)(a+b)\);
3. по формуле: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Ошибка: \((a+b)^2\neq a^2+b^2\) — теряется \(2ab\).

---

Блок 6. Системы двух линейных уравнений

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]

Способы: подстановка, алгебраическое сложение, графический.

Число решений:

• \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) — одно;
• \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) — нет;
• все три отношения равны — бесконечно много.

Дополнительно (в части программ): среднее арифметическое, медиана, мода, размах.

---

Чек-лист: проверь себя

1. Упростить \((2x-1)^2-4x^2\) → \(\;1-4x\)
2. Разложить \(3a^2-12\) → \(\;3(a-2)(a+2)\)
3. Решить систему \(\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\) → \(\;(3;2)\)
4. Упростить \(\dfrac{a^4\cdot a^3}{a^5}\) → \(\;a^2\)
5. Найти \(k\), если \(y=kx+2\) проходит через \((3;8)\) → \(\;k=2\)

Если все пять получаются — курс 7 класса закрыт.

Скажи, какой блок разобрать подробнее (например, «ФСУ» или «системы»), и я дам пошаговый разбор с более сложными примерами.

Кратко: в 6 классе предмет называется «математика», но алгебраическая часть курса — это действия с дробями, отрицательные числа и модуль, выражения и уравнения, пропорции, координаты и графики. Всё это — фундамент 7 класса.

---

Блок 1. Делимость чисел

Признаки делимости:

• на 2 — число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8;
• на 5 — на 0 или 5;
• на 10 — на 0;
• на 3 — сумма цифр делится на 3;
• на 9 — сумма цифр делится на 9.

НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное. Связь:

\[ \text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)=a\cdot b \]

Пример. \(\text{НОД}(12,18)=6\), значит \(\text{НОК}(12,18)=\dfrac{12\cdot18}{6}=36\).

---

Блок 2. Обыкновенные дроби

Основное свойство дроби:

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\quad (b\neq0,\ c\neq0) \]

Отсюда сокращение и приведение к общему знаменателю.

Сложение и вычитание:

\[ \frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm cb}{bd} \]

Пример.

\[ \frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{20}{24}-\frac{9}{24}=\frac{11}{24}. \]

Сокращать можно только множители: \(\frac{2\cdot3}{2\cdot5}=\frac{3}{5}\), но \(\frac{2+3}{5}\neq\frac{3}{5}\).

---

Блок 3. Умножение и деление дробей

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} \]

Дробь от числа — умножение: \(\frac{3}{4}\) от 8 равно \(\frac{3}{4}\cdot8=6\).
Число по его дроби — деление: если \(\frac{2}{5}\) числа равны 10, то число \(=10:\frac{2}{5}=25\).

Взаимно обратные числа: произведение равно 1, например \( \frac{3}{4}\) и \(\frac{4}{3}\).

---

Блок 4. Отношения и пропорции

Отношение — частное: \(a:b=\frac{a}{b}\).

Пропорция:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Leftrightarrow\ ad=bc \]

Произведение крайних членов равно произведению средних.

Пример.

\[ \frac{3}{4}=\frac{x}{12} \Rightarrow 4x=36 \Rightarrow x=9. \]

Прямая пропорциональность: \(y=kx\) — при увеличении \(x\) во столько же раз увеличивается \(y\).
Обратная пропорциональность: \(y=\dfrac{k}{x}\) — при увеличении \(x\) \(y\) уменьшается.

Масштаб — отношение длины на плане к длине в действительности.

Окружность и круг:

\[ C=2\pi R=\pi D,\qquad S=\pi R^2 \]

---

Блок 5. Отрицательные числа и модуль

Модуль — расстояние от числа до нуля:

\[ |a|\ge0,\qquad |{-5}|=5,\qquad |5|=5. \]

Сравнение: из двух отрицательных меньше то, у которого модуль больше: \(-7<-3\).

Сложение:

• оба числа отрицательны — складываем модули, ставим минус: \(-4+(-6)=-10\);
• разные знаки — из большего модуля вычитаем меньший, ставим знак числа с большим модулем: \(-7+4=-3\).

Вычитание — прибавление противоположного:

\[ a-b=a+(-b),\qquad -5-(-8)=-5+8=3. \]

Умножение и деление: минус на минус даёт плюс:

\[ (-3)\cdot(-4)=12,\qquad -18:6=-3. \]

Распределительное свойство и раскрытие скобок (главное правило 6 класса):

\[ a(b+c)=ab+ac,\qquad -(a-b)=-a+b. \]

---

Блок 6. Выражения и уравнения

Коэффициент — числовой множитель: в \(-2ab\) коэффициент равен \(-2\).
Подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью: \(3x-5x+2x=0\).

Раскрытие скобок и приведение подобных — основа решения уравнений.

Пример.

\[ 5(x-2)=3x+4 \]

\[ 5x-10=3x+4 \]

\[ 5x-3x=4+10 \Rightarrow 2x=14 \Rightarrow x=7. \]

Проверка: слева \(5\cdot5=25\), справа \(21+4=25\). Верно.

Задача через уравнение: за \(x\) берём искомую или наименьшую величину, остальные выражаем через неё.

---

Блок 7. Координаты и графики

Точка на плоскости задаётся парой \((x;y)\): \(x\) — по горизонтальной оси, \(y\) — по вертикальной.

График показывает зависимость: по оси \(Ox\) — независимая величина, по \(Oy\) — зависимая. Читать график — значит по одному значению находить другое.

Начала вероятности (в части программ):

\[ P=\frac{m}{n},\qquad 0\le P\le1, \]

где \(m\) — число подходящих исходов, \(n\) — всех равновозможных.

---

Типичные ошибки

1. \(-(-a)=a\), а \(-(a-b)=-a+b\): минус меняет знак у каждого слагаемого.
2. \(\frac{a+b}{c}\neq\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\) — это как раз не ошибка, а верно; ошибаются наоборот, вынося множитель из суммы: \(\frac{ab}{c}\neq a\cdot\frac{b}{c}\) — тоже верно, а вот \(\frac{a+b}{a}\neq1+b\).
3. Деление на дробь — умножение на обратную: \(6:\frac{2}{3}=6\cdot\frac{3}{2}=9\).
4. Модуль неотрицателен: \(|a|=-5\) невозможно.
5. В пропорции перемножают не те пары: крайние с крайними, средние со средними.

---

Чек-лист с ответами

1. \(\frac{5}{6}-\frac{3}{8}\) → \(\frac{11}{24}\)
2. \(-4{,}7+2{,}9\) → \(-1{,}8\)
3. Решить \(-2(x-3)=8\) → \(x=-1\)
4. Из пропорции \(\frac{x}{6}=\frac{5}{3}\) найти \(x\) → \(10\)
5. \(\text{НОК}(8,12)\) → \(24\)

Если все пять сходятся — база 6 класса готова, и в 7 классе степени, ФСУ и линейные функции пойдут спокойно.

Скажи, какой блок разобрать подробнее — например, «действия с отрицательными числами» или «пропорции и задачи».

Кратко: формально «алгебра» начинается с 7 класса, а в 6 классе идёт математика, но её алгебраическая часть — это пять блоков: делимость чисел, обыкновенные дроби, отношения и пропорции, положительные и отрицательные числа, уравнения и координатная плоскость. Именно они готовят базу для 7–8 классов.

---

Блок 1. Делимость чисел

Делитель числа \(a\) — число, на которое \(a\) делится без остатка. Кратное — то, что делится на \(a\).

Признаки делимости:

• на 2 — последняя цифра чётная;
• на 5 — оканчивается на 0 или 5;
• на 10 — оканчивается на 0;
• на 3 — сумма цифр делится на 3;
• на 9 — сумма цифр делится на 9.

Простые числа делятся только на 1 и на себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Составные имеют больше двух делителей. Единица — ни то, ни другое.

Разложение на простые множители:

\[ 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7 \]

НОД — произведение общих множителей с наименьшими степенями:

\[ \text{НОД}(84;126)=2\cdot3\cdot7=42 \]

НОК — произведение всех множителей с наибольшими степенями:

\[ \text{НОК}(84;126)=2^2\cdot3^2\cdot7=252 \]

Связь:

\[ \text{НОД}(a;b)\cdot\text{НОК}(a;b)=a\cdot b \]

---

Блок 2. Обыкновенные дроби

Основное свойство дроби:

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\quad (b\neq0,\ c\neq0) \]

Отсюда сокращение и приведение к общему знаменателю.

Сравнение: приводим к общему знаменателю и сравниваем числители. Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше.

Сложение и вычитание:

\[ \frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd} \]

Умножение:

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]

Деление — умножение на обратную дробь:

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} \]

Взаимно обратные числа дают в произведении \(1\): \(\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1\).

Дробные выражения — в числителе или знаменателе есть дробь; действуем по порядку действий, а «многоэтажную» дробь переводим в деление.

Дробь от числа: чтобы найти \(\frac{3}{5}\) от 40, умножаем \(40\cdot\frac{3}{5}=24\). Число по его дроби: если \(\frac{3}{5}\) числа равны 24, то число \(24:\frac{3}{5}=40\).

---

Блок 3. Отношения и пропорции

Отношение — частное двух чисел; показывает, во сколько раз первое больше второго.

Пропорция — равенство двух отношений:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Leftrightarrow\ ad=bc \]

(произведение крайних равно произведению средних).

Пример. \(\frac{3}{x}=\frac{6}{10}\).

\[ 6x=30 \Rightarrow x=5. \]

Проверка: \(\frac{3}{5}=0{,}6\) и \(\frac{6}{10}=0{,}6\). Верно.

Прямая пропорциональность: во сколько раз больше одна величина, во столько же раз больше другая (количество товара и стоимость). Обратная: больше одна — во столько же раз меньше другая (скорость и время на одном пути).

Масштаб \(1:100000\) означает, что 1 см на карте — 100000 см = 1 км на местности.

Окружность и круг:

\[ C=2\pi R,\qquad S=\pi R^2 \]

---

Блок 4. Положительные и отрицательные числа

Координатная прямая: каждому числу соответствует точка; справа — большие числа.

Противоположные числа: \(a\) и \(-a\), их сумма равна \(0\).

Модуль — расстояние от точки до нуля:

\[ |a|=a \text{ при } a\ge0,\qquad |a|=-a \text{ при } a<0 \]

\[ |-7|=7,\qquad |0|=0,\qquad |a-b|=|b-a| \]

Сравнение: любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного; из двух отрицательных меньше то, у которого модуль больше.

Сложение:

• одинаковые знаки — складываем модули, ставим общий знак: \(-5+(-3)=-8\);
• разные знаки — из большего модуля вычитаем меньший, ставим знак числа с большим модулем: \(-5+3=-2\).

Вычитание — прибавление противоположного:

\[ a-b=a+(-b),\qquad -5-(-3)=-5+3=-2 \]

Умножение и деление — правила знаков:

\[ (-)\cdot(-)=+,\qquad (-)\cdot(+)=- \]

\[ (-4)\cdot(-3)=12,\qquad \frac{-12}{3}=-4,\qquad \frac{-12}{-4}=3 \]

Раскрытие скобок:

\[ a-(b-c)=a-b+c,\qquad -(a-b)=-a+b \]

\[ -2(x-3)=-2x+6 \]

Приведение подобных:

\[ 5x-8x+2x=-x \]

Коэффициент — числовой множитель перед буквенной частью; у \(-3ab\) коэффициент \(-3\).

---

Блок 5. Уравнения

Правила равносильности: слагаемое можно перенести из одной части в другую, поменяв знак; обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.

Пример.

\[ 5x-8=2x+7 \]

\[ 5x-2x=7+8 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5. \]

Проверка: слева \(25-8=17\), справа \(10+7=17\). Верно.

Задачи с помощью уравнения: за \(x\) берём искомое (или наименьшее), остальные величины выражаем через \(x\), затем записываем условие задачи.

---

Блок 6. Координатная плоскость

Две перпендикулярные оси: \(Ox\) (абсцисса) и \(Oy\) (ордината). Точка задаётся парой \((x;y)\).

Пример. \(A(-2;3)\): влево 2, вверх 3 — вторая четверть. \(B(0;-4)\) лежит на оси \(Oy\).

При построении графиков и диаграмм: точка \((x;y)\) — сначала \(x\) по горизонтали, потом \(y\) по вертикали.

---

Проценты (повторение 5–6 класса)

\[ 1\%=\frac{1}{100} \]

Три типа задач:

1. найти \(p\%\) от \(a\): \(a\cdot\frac{p}{100}\);
2. найти число, если \(p\%\) его равны \(b\): \(b:\frac{p}{100}\);
3. сколько процентов \(b\) составляет от \(a\): \(\frac{b}{a}\cdot100\%\).

Пример. 15% от 60: \(60\cdot0{,}15=9\). Обратно: если 9 — это 15% числа, то число \(9:0{,}15=60\).

---

Типичные ошибки

1. \(-3^2=-9\), а \((-3)^2=9\) — сначала степень, потом знак.
2. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq\frac{2}{5}\) — складывать надо через общий знаменатель.
3. Сокращать можно только множители: \(\frac{2\cdot5}{2\cdot7}=\frac{5}{7}\), но \(\frac{2+5}{2+7}\neq\frac{5}{7}\).
4. Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого.
5. При переносе через «=» забывают поменять знак.

---

Чек-лист

1. Сократить \(\frac{84}{126}\) → \(\frac{2}{3}\)
2. \(\text{НОД}(84;126)\) → \(42\)
3. \(-7+4\) → \(-3\)
4. \((-6)\cdot(-2)\) → \(12\)
5. Решить \(4x-3=2x+9\) → \(x=6\)
6. \(15\%\) от \(80\) → \(12\)

Если все шесть сходятся — база 6 класса на месте. Скажи, какой блок разобрать подробнее, и дам больше примеров с пошаговыми решениями.

Кратко: курс математики 5 класса — это натуральные числа и действия с ними, выражения и простые уравнения, формулы и единицы измерения, обыкновенные и десятичные дроби, среднее арифметическое, геометрия: углы, треугольники, площади и объёмы. (Шпаргалку по отмазкам школьная программа не предусматривает — а вот весь курс ниже.)

---

Блок 1. Натуральные числа

Натуральные числа — те, что используются при счёте: \(1, 2, 3, \ldots\) Нуль натуральным не является.

Цифры — 10 знаков: \(0,1,\ldots,9\). Число записывается цифрами, но числом не является.

Разряды: единицы, десятки, сотни, тысячи… Классы: единиц, тысяч, миллионов.

Сравнение: сравниваем по количеству цифр, а при равенстве — поразрядно слева направо.

Округление: если следующая цифра \(\ge5\), разряд увеличиваем на 1, иначе оставляем. \(3{,}47\approx3{,}5\) (до десятых).

---

Блок 2. Действия с натуральными числами

\[ a+b=b+a,\qquad ab=ba \]

\[ (a+b)+c=a+(b+c),\qquad (ab)c=a(bc) \]

\[ (a+b)c=ac+bc \]

Последнее — распределительное свойство, оно экономит счёт: \(25\cdot102=25(100+2)=2550\).

Порядок действий: сначала в скобках → умножение и деление → сложение и вычитание (слева направо).

Особые случаи: \[ a\cdot0=0,\qquad a\cdot1=a,\qquad 0:a=0\ (a\neq0) \]

Делить на нуль нельзя — это запрет, а не правило счёта.

Деление с остатком:

\[ a=bq+r,\qquad 0\le r<b \]

Пример. \(37=5\cdot7+2\): неполное частное 7, остаток 2, причём \(2<5\).

---

Блок 3. Выражения и уравнения

Числовое выражение — только числа и знаки действий. Буквенное содержит буквы; буква — переменная.

Пример на порядок действий:

\[ 100-(18+12):6\cdot2=100-30:6\cdot2=100-5\cdot2=90. \]

Уравнение — равенство с неизвестным. Корень — значение, при котором оно верно.

Правила решения в 5 классе:

• неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое;
• неизвестное уменьшаемое = вычитаемое + разность;
• неизвестный множитель = произведение : известный множитель.

Пример. \(x+17=42\Rightarrow x=42-17=25\). Проверка: \(25+17=42\). Верно.

---

Блок 4. Формулы

Путь при равномерном движении:

\[ s=vt,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v} \]

Периметр и площадь прямоугольника:

\[ P=2(a+b),\qquad S=ab \]

Квадрат:

\[ P=4a,\qquad S=a^2 \]

Объём прямоугольного параллелепипеда:

\[ V=abc,\qquad V=Sh \]

Куб:

\[ V=a^3 \]

Пример. Комната \(5\times4\) м при высоте \(3\) м: \(S=20\ \text{м}^2\), \(V=60\ \text{м}^3\).

---

Блок 5. Единицы измерения

\[ 1\ \text{км}=1000\ \text{м},\qquad 1\ \text{м}=10\ \text{дм}=100\ \text{см} \]

\[ 1\ \text{т}=1000\ \text{кг},\qquad 1\ \text{кг}=1000\ \text{г} \]

\[ 1\ \text{ч}=60\ \text{мин},\qquad 1\ \text{мин}=60\ \text{с} \]

Площади: \(1\ \text{м}^2=100\ \text{дм}^2=10000\ \text{см}^2\); \(1\ \text{га}=10000\ \text{м}^2\).

Объёмы: \(1\ \text{м}^3=1000\ \text{дм}^3\); \(1\ \text{л}=1\ \text{дм}^3\).

---

Блок 6. Обыкновенные дроби

Доля — часть целого: \(\frac{1}{n}\). Дробь \(\frac{a}{b}\): \(b\) — знаменатель (на сколько частей делили), \(a\) — числитель (сколько взяли).

Сравнение: при одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше; при одинаковых числителях — та, у которой знаменатель меньше.

Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями:

\[ \frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b} \]

Задачи:

• найти \(\frac{3}{5}\) от 40: \(40\cdot\frac{3}{5}=24\);
• найти число, если \(\frac{3}{5}\) его равны 24: \(24:\frac{3}{5}=40\).

Смешанные числа: \(2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\).

---

Блок 7. Десятичные дроби

Запись через запятую: \(3{,}25=3+\frac{25}{100}\). Разряды после запятой: десятые, сотые, тысячные.

Сложение и вычитание — запятая под запятой:

\[ 12{,}4+3{,}75=16{,}15 \]

Умножение на \(10, 100, 1000\) — запятая вправо; деление — влево:

\[ 2{,}5\cdot100=250,\qquad 37{,}5:10=3{,}75 \]

Умножение: перемножаем как натуральные, а затем отделяем запятой столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях:

\[ 0{,}3\cdot0{,}4=0{,}12 \]

Округление: \(7{,}86\approx7{,}9\) до десятых.

---

Блок 8. Среднее арифметическое

\[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} \]

Пример. Оценки \(4, 5, 3, 4\): \(\bar{x}=\frac{16}{4}=4\).

Средняя скорость на всём пути — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее из скоростей.

---

Блок 9. Геометрия

Углы: прямой \(90^\circ\), развёрнутый \(180^\circ\), острый \(<90^\circ\), тупой \(>90^\circ\). Биссектриса делит угол пополам.

Треугольники: по углам — остроугольный, прямоугольный, тупоугольный; по сторонам — разносторонний, равнобедренный, равносторонний.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).

Прямоугольник и квадрат — формулы выше. Многогранники: грани, рёбра, вершины; у прямоугольного параллелепипеда \(6\) граней, \(12\) рёбер, \(8\) вершин.

---

Типичные ошибки

1. \(2^3=8\), а не \(6\): степень — это произведение, а не умножение на показатель.
2. \(5+3\cdot2=11\), а не \(16\): умножение выполняется раньше сложения.
3. При сложении десятичных дробей пишут не «запятая под запятой» и теряют разряд.
4. Сравнивают дроби по числителю, когда знаменатели разные: \(\frac{1}{3}>\frac{1}{4}\), хотя \(3<4\).
5. Путают площадь и периметр: \(S\) — в квадратных единицах, \(P\) — в обычных.

---

Чек-лист

1. \(100-(18+12):6\cdot2\) → \(90\)
2. \(x+17=42\) → \(x=25\)
3. \(\frac{3}{5}\) от 40 → \(24\)
4. \(0{,}3\cdot0{,}4\) → \(0{,}12\)
5. \(P\) и \(S\) прямоугольника \(5\times4\) → \(18\) и \(20\)
6. \(V\) куба с ребром 3 → \(27\)
7. Среднее чисел \(4, 5, 3, 4\) → \(4\)

Все семь сошлись — программа 5 класса закрыта. Скажи, какой блок нужен подробнее, и разберу с пошаговыми примерами.