Пеши задачи дано с рисунком и решение

Кратко: №1 — \(17{,}2\) см; №2 — \(y=4\), \(MP=26\) см, \(AB=15\) см; №3 — \(46\) см; №4 — \(L\) — середина \(AN\), \(KL=\dfrac{BC}{4}\).

Общая идея. Почти все задачи — на среднюю линию треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине. Работает и обратное: прямая через середину стороны параллельно другой стороне попадает в середину третьей стороны.

Рисунки схематичные, не в масштабе.

№1

Дано: \(\triangle ABC\); \(K\) — середина \(AB\), \(L\) — середина \(BC\); \(KL=8{,}6\) см.
Найти: \(AC\).

Рисунок:

        A
       / \
      K   \
     / \   \
    B---L---C

Решение.
\(K\) и \(L\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит \(KL\) — средняя линия \(\triangle ABC\), параллельная \(AC\). Поэтому \[ KL=\frac{AC}{2}. \] Отсюда \[ AC=2\cdot KL=2\cdot 8{,}6=17{,}2\text{ см}. \]

Проверка: \(17{,}2:2=8{,}6\) — верно.

Ответ: \(AC=17{,}2\) см.

№2

Дано: \(\triangle MNP\); \(A\) — середина \(MN\); \(AB\parallel NP\), \(B\in MP\);
\(MB=4y-3\) см, \(BP=2y+5\) см, \(NP=30\) см.
Найти: \(y\), \(MP\), \(AB\).

Рисунок:

        M
       / \
      A---B
     /     \
    N-------P

Решение.
В треугольнике \(MNP\) точка \(A\) — середина \(MN\), и \(AB\parallel NP\). По теореме о средней линии \(B\) — середина \(MP\). Значит, \[ MB=BP. \] Получаем уравнение: \[ 4y-3=2y+5, \] \[ 2y=8,\qquad y=4. \] Тогда \[ MB=4\cdot4-3=13\text{ см},\qquad BP=2\cdot4+5=13\text{ см}. \] Следовательно, \[ MP=MB+BP=13+13=26\text{ см}. \] Отрезок \(AB\) соединяет середины сторон \(MN\) и \(MP\), поэтому он является средней линией: \[ AB=\frac{NP}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ см}. \]

Проверка: \(MB=BP=13\), \(13+13=26\); \(AB=30:2=15\).

Ответ: \(y=4\); \(MP=26\) см; \(AB=15\) см.

№3

Дано: четырёхугольник \(ABCD\); \(E,F,G,H\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно;
\(AC=19\) см, \(BD=27\) см.
Найти: периметр \(EFGH\).

Рисунок:

A-----E-----B
|    / \    |
|   H   F   |
|    \ /    |
D-----G-----C

Решение.
Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями.

В \(\triangle ABC\) точки \(E\) и \(F\) — середины \(AB\) и \(BC\), поэтому \[ EF=\frac{AC}{2}=\frac{19}{2}=9{,}5\text{ см}. \]

В \(\triangle BCD\) точки \(F\) и \(G\) — середины \(BC\) и \(CD\), поэтому \[ FG=\frac{BD}{2}=\frac{27}{2}=13{,}5\text{ см}. \]

Аналогично: \[ GH=\frac{AC}{2}=9{,}5\text{ см},\qquad HE=\frac{BD}{2}=13{,}5\text{ см}. \]

Периметр: \[ P_{EFGH}=9{,}5+13{,}5+9{,}5+13{,}5=46\text{ см}. \]

Можно запомнить короче: \[ P_{EFGH}=AC+BD=19+27=46\text{ см}. \]

Ответ: \(46\) см.

№4

Дано: \(\triangle ABC\); \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(AC\); \(K\) — середина \(AM\); через \(K\) проведена прямая \(KL\parallel MN\), \(L\in AC\).
Доказать: \(L\) — середина \(AN\).
Выразить: \(KL\) через \(BC\).

Рисунок:

        A
       / \
      K---L
     /     \
    M-------N
   /         \
  B-----------C

Доказательство.

1. \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(AC\), значит \(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC\): \[ MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{BC}{2}. \]

2. Рассмотрим \(\triangle AMN\). В нём \(K\) — середина стороны \(AM\), а прямая \(KL\parallel MN\). По теореме о средней линии она проходит через середину стороны \(AN\). Значит, \(L\) — середина \(AN\).

3. Тогда \(KL\) — средняя линия \(\triangle AMN\), поэтому \[ KL=\frac{MN}{2}. \] Но \(MN=\dfrac{BC}{2}\), следовательно, \[ KL=\frac{1}{2}\cdot\frac{BC}{2}=\frac{BC}{4}. \]

Проверка: если \(BC=8\), то \(MN=4\), а \(KL=2=8:4\) — верно.

Ответ: \(L\) — середина \(AN\); \(\boxed{KL=\dfrac{BC}{4}}\).