сделай номера 97 и 99
Краткий ответ
№ 97.
- \(x=\frac12\); 2) \(x=-4\);
- \(0<x<\frac12\); 4) \(x<0\) или \(x\ge 2\).
№ 99.
- \((2;6)\), \((-2;-6)\);
- \((2;-4)\), \((-2;4)\);
- \((2;1)\), \((-1;-2)\);
- \((1;3)\), \((-4;-2)\).
№ 97. График \(y=\frac{2}{x}\) и значения \(x\)
Это гипербола: ветви расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами, \(x\ne 0\).
Для построения можно взять точки:
\[ \begin{array}{c|cccccc} x&-4&-2&-1&1&2&4\\ \hline y&-\frac12&-1&-2&2&1&\frac12 \end{array} \]
Дополнительно: \(\left(\frac12;4\right)\) и \(\left(-\frac12;-4\right)\).
1) \(y(x)=4\)
\[ \frac{2}{x}=4 \Rightarrow x=\frac{2}{4}=\frac12. \]
Ответ: \(x=\frac12\).
2) \(y(x)=-\frac12\)
\[ \frac{2}{x}=-\frac12 \Rightarrow x=-4. \]
Ответ: \(x=-4\).
3) \(y(x)>4\)
\[ \frac{2}{x}>4. \]
При \(x<0\) дробь отрицательна, поэтому \(y>4\) невозможно.
При \(x>0\):
\[ \frac{2}{x}>4 \Rightarrow 2>4x \Rightarrow x<\frac12. \]
Значит, \(0<x<\frac12\).
Ответ: \(0<x<\frac12\).
4) \(y(x)\le 1\)
\[ \frac{2}{x}\le 1. \]
- Если \(x<0\), то \(\frac{2}{x}<0\), поэтому неравенство всегда верно.
- Если \(x>0\), то:
\[ \frac{2}{x}\le 1 \Rightarrow 2\le x. \]
Ответ: \(x<0\) или \(x\ge 2\).
№ 99. Точки пересечения графиков без построения
Общий принцип: в точке пересечения значения функций равны. Поэтому приравниваем правые части и решаем уравнение. Затем найденный \(x\) подставляем в любое из уравнений, чтобы найти \(y\). Не забываем про область определения: знаменатель не равен нулю.
1) \(y=\frac{12}{x}\), \(y=3x\)
\[ \frac{12}{x}=3x \Rightarrow 12=3x^2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
При \(x=2\): \(y=3\cdot2=6\).
При \(x=-2\): \(y=3\cdot(-2)=-6\).
Ответ: \((2;6)\), \((-2;-6)\).
2) \(y=-\frac{8}{x}\), \(y=-2x\)
\[ -\frac{8}{x}=-2x \Rightarrow 8=2x^2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
При \(x=2\): \(y=-2\cdot2=-4\).
При \(x=-2\): \(y=-2\cdot(-2)=4\).
Ответ: \((2;-4)\), \((-2;4)\).
3) \(y=\frac{2}{x}\), \(y=x-1\)
\[ \frac{2}{x}=x-1 \Rightarrow x^2-x-2=0. \]
\[ (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=-1. \]
При \(x=2\): \(y=2-1=1\).
При \(x=-1\): \(y=-1-1=-2\).
Ответ: \((2;1)\), \((-1;-2)\).
4) \(y=\frac{6}{x+1}\), \(y=x+2\)
Здесь \(x\ne -1\).
\[ \frac{6}{x+1}=x+2. \]
Умножаем на \(x+1\):
\[ 6=(x+2)(x+1), \]
\[ x^2+3x-4=0, \]
\[ (x-1)(x+4)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=-4. \]
Оба значения допустимы, так как \(x\ne -1\).
При \(x=1\): \(y=1+2=3\).
При \(x=-4\): \(y=-4+2=-2\).
Ответ: \((1;3)\), \((-4;-2)\).
Проверка: подстановка найденных пар в исходные уравнения даёт верные равенства; например, \(12/2=6=3\cdot2\).
