Реши задание на изображении

На фото, судя по записи, нужно упростить дробь:

\[ \frac{1-\cos\alpha+\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha-1}. \]

Краткий ответ:

\[ \boxed{\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}} \]

Также это можно записать как \(\dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\) там, где обе записи имеют смысл.

Как это получается

Введём половинный угол \(t=\frac{\alpha}{2}\), обозначим \(s=\sin t,\ c=\cos t\). Тогда:

\[ 1-\cos\alpha=2s^2,\qquad \sin\alpha=2sc, \] \[ \cos\alpha=c^2-s^2. \]

1. Числитель:

\[ 1-\cos\alpha+\sin\alpha =2s^2+2sc=2s(s+c). \]

2. Знаменатель:

\[ \sin\alpha+\cos\alpha-1 =2sc+c^2-s^2-1. \]

Так как \(s^2+c^2=1\):

\[ 2sc+c^2-s^2-(s^2+c^2) =2sc-2s^2=2s(c-s). \]

3. Делим:

\[ \frac{2s(s+c)}{2s(c-s)} =\frac{s+c}{c-s}. \]

Теперь домножим числитель и знаменатель так, чтобы получить формулы двойного угла:

\[ \frac{s+c}{c-s} =\frac{(s+c)(c-s)}{(c-s)^2} =\frac{c^2-s^2}{(c-s)^2}. \]

Но

\[ c^2-s^2=\cos 2t=\cos\alpha, \] \[ (c-s)^2=c^2-2sc+s^2=1-\sin 2t=1-\sin\alpha. \]

Значит:

\[ \boxed{\frac{1-\cos\alpha+\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha-1} =\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}}. \]

Проверка

Возьмём \(\alpha=30^\circ\):

\[ \frac{1-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12} {\frac12+\frac{\sqrt3}{2}-1} =\sqrt3, \]

а

\[ \frac{\cos30^\circ}{1-\sin30^\circ} =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =\sqrt3. \]

Совпало.

Важно: исходная дробь не определена, когда её знаменатель равен нулю, в частности при \(\alpha=0^\circ\) и \(\alpha=90^\circ\) с учётом периода \(360^\circ\). Это ограничение нужно сохранять.