Корень из 21

Краткий ответ

$$\sqrt{21}\approx 4{,}583$$

Точного рационального значения нет: $\sqrt{21}$ — иррациональное число. В виде $\sqrt{21}$ ответ и оставляют, «упростить» его нельзя.

Ключевые шаги

1. Проверяем, упрощается ли корень. Раскладываем на простые множители: $$21=3\cdot 7$$ Квадратных множителей (4, 9, 16, 25…) нет, поэтому вынести из-под корня нечего — $\sqrt{3\cdot 7}$ не превращается в произведение корней с целыми числами.

2. Оцениваем, между какими целыми лежит значение. Ищем соседние полные квадраты: $$16<21<25 ;\Rightarrow; 4^2<21<5^2 ;\Rightarrow; 4<\sqrt{21}<5$$

3. Уточняем десятые. Возводим в квадрат числа с шагом 0,1: $$4{,}5^2=20{,}25<21,\qquad 4{,}6^2=21{,}16>21$$ Значит, $4{,}5<\sqrt{21}<4{,}6$ — ближе к $4{,}6$.

4. Уточняем сотые: $$4{,}58^2=20{,}9764<21,\qquad 4{,}59^2=21{,}0681>21$$ Получаем $4{,}58<\sqrt{21}<4{,}59$, то есть $\sqrt{21}\approx 4{,}58$.

5. Проверка. $4{,}583^2\approx 21{,}004$, $4{,}582^2\approx 20{,}995$ — нужное значение как раз между ними, около $4{,}5826$.

Принцип для похожих заданий

• Не упрощается, если в разложении числа на простые множители нет повторяющихся пар (например, $\sqrt{21}$ нельзя, а $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5$ — можно).
• Оценка «вилкой»: всегда ищи два ближайших полных квадрата — это сразу даёт целую часть корня, дальше добавляй десятые, сотые и проверяй возведением в квадрат.
• Проверка — обратное действие: возведи свой ответ в квадрат, должно получиться чуть больше или чуть меньше подкоренного числа, но очень близко.