104 и 105 реши

Question 1

Задача Задача №3762591

А

Аноним

6 дней назад · публичный вопрос

А

Аноним 6 дней назад

104 и 105 реши

Answer

Кратко: 104 a–г — это синусоиды и косинусоиды, 105 a — тангенсоида, 105 в — котангенсоида, а 105 б,г снова косинусоида и синусоида. Ниже — исследование и опорные точки для построения. Везде \(n\in\mathbb Z\).

Как получать похожие результаты.
Для \(y=A\sin kx\) или \(y=A\cos kx\):
\[ D=\mathbb R,\qquad E=[-|A|;|A|],\qquad T=\frac{2\pi}{|k|}. \] График — обычная синусоида/косинусоида, растянутая по горизонтали, с амплитудой \(|A|\); если \(A<0\), она отражена от оси \(Ox\). Нули ищутся из уравнения \(\sin kx=0\) или \(\cos kx=0\).

Для \(y=A\operatorname{tg}kx\) и \(y=A\operatorname{ctg}kx\):
\[ E=\mathbb R,\qquad T=\frac{\pi}{|k|}, \] а область определения исключает точки, где знаменатель равен нулю. Там будут вертикальные асимптоты. У тангенса и котангенса нет максимумов и минимумов.

104

а) \(f(x)=\frac12\cos\frac{x}{3}\)

\(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right],\quad T=6\pi\).
Нули: \(x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n\).
\(f>0\): \(\left(-\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\frac{3\pi}{2}+6\pi n\right)\).
\(f<0\): \(\left(\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\frac{9\pi}{2}+6\pi n\right)\).
Возрастает: \(\left(3\pi+6\pi n;6\pi+6\pi n\right)\).
Убывает: \(\left(6\pi n;3\pi+6\pi n\right)\).
\(\max f=\frac12\) при \(x=6\pi n\); \(\min f=-\frac12\) при \(x=3\pi+6\pi n\).
График: косинусоида с амплитудой \(0{,}5\), растянутая в 3 раза вдоль \(Ox\). Опорные точки одного периода: \[ (0;0{,}5),\ \left(\frac{3\pi}{2};0\right),\ (3\pi;-0{,}5),\ \left(\frac{9\pi}{2};0\right),\ (6\pi;0{,}5). \]

б) \(f(x)=-2\sin 2x\)

\(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-2;2],\quad T=\pi\).
Нули: \(x=\frac{\pi n}{2}\).
\(f>0\): \(\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi+\pi n\right)\).
\(f<0\): \(\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\).
Возрастает: \(\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right)\).
Убывает: \(\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\).
\(\max f=2\) при \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi n\); \(\min f=-2\) при \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n\).
График: синусоида с амплитудой 2, отражённая от оси \(Ox\) и сжатая в 2 раза вдоль \(Ox\). Опорные точки: \[ (0;0),\ \left(\frac{\pi}{4};-2\right),\ \left(\frac{\pi}{2};0\right),\ \left(\frac{3\pi}{4};2\right),\ (\pi;0). \]

в) \(f(x)=-1{,}5\cos 3x\)

\(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-1{,}5;1{,}5],\quad T=\frac{2\pi}{3}\).
Нули: \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\).
\(f>0\): \(\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}\right)\).
\(f<0\): \(\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\right)\).
Возрастает: \(\left(\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right)\).
Убывает: \(\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right)\).
\(\max f=1{,}5\) при \(x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\);
\(\min f=-1{,}5\) при \(x=\frac{2\pi n}{3}\).
График: косинусоида с амплитудой \(1{,}5\), отражённая от оси \(Ox\), начинается с минимума. Опорные точки: \[ (0;-1{,}5),\ \left(\frac{\pi}{6};0\right),\ \left(\frac{\pi}{3};1{,}5\right),\ \left(\frac{\pi}{2};0\right),\ \left(\frac{2\pi}{3};-1{,}5\right). \]

г) \(f(x)=3\sin\frac{x}{2}\)

\(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-3;3],\quad T=4\pi\).
Нули: \(x=2\pi n\).
\(f>0\): \((4\pi n;2\pi+4\pi n)\).
\(f<0\): \((2\pi+4\pi n;4\pi+4\pi n)\).
Возрастает: \((-\pi+4\pi n;\pi+4\pi n)\).
Убывает: \((\pi+4\pi n;3\pi+4\pi n)\).
\(\max f=3\) при \(x=\pi+4\pi n\); \(\min f=-3\) при \(x=3\pi+4\pi n\).
График: синусоида с амплитудой 3, растянутая в 2 раза вдоль \(Ox\). Опорные точки: \[ (0;0),\ (\pi;3),\ (2\pi;0),\ (3\pi;-3),\ (4\pi;0). \]

105

а) \(f(x)=\frac12\operatorname{tg}2x\)

\(D(f):\ x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\).
\(E(f)=\mathbb R,\quad T=\frac{\pi}{2}\).
Нули: \(x=\frac{\pi n}{2}\).
Асимптоты: \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\).
На каждой ветви: \[ f<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi n}{2}\right), \] \[ f>0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right). \]
Возрастает на каждом интервале \[ \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right). \]
Экстремумов нет.
График: тангенсоида, сжатая в 2 раза вдоль \(Ox\) и в 2 раза вдоль \(Oy\). На ветви \(\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right)\): \[ \left(-\frac{\pi}{8};-\frac12\right),\quad (0;0),\quad \left(\frac{\pi}{8};\frac12\right), \] а \(x=\pm\frac{\pi}{4}\) — вертикальные асимптоты.

б) \(f(x)=-3\cos\frac{3x}{2}\)

\(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-3;3],\quad T=\frac{4\pi}{3}\).
Нули: \(x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\).
\(f>0\): \(\left(\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};\pi+\frac{4\pi n}{3}\right)\).
\(f<0\): \(\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right)\).
Возрастает: \(\left(\frac{4\pi n}{3};\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right)\).
Убывает: \(\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};\frac{4\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right)\).
\(\max f=3\) при \(x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\);
\(\min f=-3\) при \(x=\frac{4\pi n}{3}\).
График: отражённая косинусоида с амплитудой 3, начинается с минимума. Опорные точки: \[ (0;-3),\ \left(\frac{\pi}{3};0\right),\ \left(\frac{2\pi}{3};3\right),\ (\pi;0),\ \left(\frac{4\pi}{3};-3\right). \]

в) \(f(x)=-2\operatorname{ctg}\frac{x}{3}\)

\(D(f):\ x\ne3\pi n\).
\(E(f)=\mathbb R,\quad T=3\pi\).
Нули: \(x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n\).
Асимптоты: \(x=3\pi n\).
\(f<0\): \(\left(3\pi n;\frac{3\pi}{2}+3\pi n\right)\).
\(f>0\): \(\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;3\pi+3\pi n\right)\).
Возрастает на каждом интервале \[ (3\pi n;3\pi(n+1)). \]
Экстремумов нет.
График: котангенсоида, отражённая от оси \(Ox\), поэтому на каждой ветви она идёт снизу вверх. На ветви \((0;3\pi)\): \[ x\to0+,\ f\to-\infty;\qquad x=\frac{3\pi}{2},\ f=0;\qquad x\to3\pi-,\ f\to+\infty. \] Для контроля: \(f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-2\), \(f\left(\frac{9\pi}{4}\right)=2\).

г) \(f(x)=2{,}5\sin\frac{4x}{3}\)

\(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-2{,}5;2{,}5],\quad T=\frac{3\pi}{2}\).
Нули: \(x=\frac{3\pi n}{4}\).
\(f>0\): \(\left(\frac{3\pi n}{2};\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}\right)\).
\(f<0\): \(\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2};\frac{3\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2}\right)\).
Возрастает: \(\left(-\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\right)\).
Убывает: \(\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2};\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\right)\).
\(\max f=2{,}5\) при \(x=\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\);
\(\min f=-2{,}5\) при \(x=\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\).
График: синусоида с амплитудой \(2{,}5\). Опорные точки: \[ (0;0),\ \left(\frac{3\pi}{8};2{,}5\right),\ \left(\frac{3\pi}{4};0\right),\ \left(\frac{9\pi}{8};-2{,}5\right),\ \left(\frac{3\pi}{2};0\right). \]

Проверка: например, в 104 а \(f(0)=\frac12\), \(f(3\pi)=-\frac12\), \(f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0\), период \(6\pi\) — всё сходится. В 105 а \(f\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac12\), \(f\left(-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac12\), а \(x=\frac{\pi}{4}\) — асимптота.

Question 2

104 и 105 реши

Answer

Кратко: 104 a–г — это синусоиды и косинусоиды, 105 a — тангенсоида, 105 в — котангенсоида, а 105 б,г снова косинусоида и синусоида. Ниже — исследование и опорные точки для построения. Везде \(n\in\mathbb Z\). **Как получать похожие результаты.** Для \(y=A\sin kx\) или \(y=A\cos kx\): \[ D=\mathbb R,\qquad E=[-|A|;|A|],\qquad T=\frac{2\pi}{|k|}. \] График — обычная синусоида/косинусоида, растянутая по горизонтали, с амплитудой \(|A|\); если \(A<0\), она отражена от оси \(Ox\). Нули ищутся из уравнения \(\sin kx=0\) или \(\cos kx=0\). Для \(y=A\operatorname{tg}kx\) и \(y=A\operatorname{ctg}kx\): \[ E=\mathbb R,\qquad T=\frac{\pi}{|k|}, \] а область определения исключает точки, где знаменатель равен нулю. Там будут вертикальные асимптоты. У тангенса и котангенса нет максимумов и минимумов. --- ## 104 ### а) \(f(x)=\frac12\cos\frac{x}{3}\) - \(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right],\quad T=6\pi\). - Нули: \(x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n\). - \(f>0\): \(\left(-\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\frac{3\pi}{2}+6\pi n\right)\). \(f<0\): \(\left(\frac{3\pi}{2}+6\pi n;\frac{9\pi}{2}+6\pi n\right)\). - Возрастает: \(\left(3\pi+6\pi n;6\pi+6\pi n\right)\). Убывает: \(\left(6\pi n;3\pi+6\pi n\right)\). - \(\max f=\frac12\) при \(x=6\pi n\); \(\min f=-\frac12\) при \(x=3\pi+6\pi n\). - График: косинусоида с амплитудой \(0{,}5\), растянутая в 3 раза вдоль \(Ox\). Опорные точки одного периода: \[ (0;0{,}5),\ \left(\frac{3\pi}{2};0\right),\ (3\pi;-0{,}5),\ \left(\frac{9\pi}{2};0\right),\ (6\pi;0{,}5). \] ### б) \(f(x)=-2\sin 2x\) - \(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-2;2],\quad T=\pi\). - Нули: \(x=\frac{\pi n}{2}\). - \(f>0\): \(\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi+\pi n\right)\). \(f<0\): \(\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\). - Возрастает: \(\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right)\). Убывает: \(\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right)\). - \(\max f=2\) при \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi n\); \(\min f=-2\) при \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n\). - График: синусоида с амплитудой 2, отражённая от оси \(Ox\) и сжатая в 2 раза вдоль \(Ox\). Опорные точки: \[ (0;0),\ \left(\frac{\pi}{4};-2\right),\ \left(\frac{\pi}{2};0\right),\ \left(\frac{3\pi}{4};2\right),\ (\pi;0). \] ### в) \(f(x)=-1{,}5\cos 3x\) - \(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-1{,}5;1{,}5],\quad T=\frac{2\pi}{3}\). - Нули: \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\). - \(f>0\): \(\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}\right)\). \(f<0\): \(\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\right)\). - Возрастает: \(\left(\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right)\). Убывает: \(\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right)\). - \(\max f=1{,}5\) при \(x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\); \(\min f=-1{,}5\) при \(x=\frac{2\pi n}{3}\). - График: косинусоида с амплитудой \(1{,}5\), отражённая от оси \(Ox\), начинается с минимума. Опорные точки: \[ (0;-1{,}5),\ \left(\frac{\pi}{6};0\right),\ \left(\frac{\pi}{3};1{,}5\right),\ \left(\frac{\pi}{2};0\right),\ \left(\frac{2\pi}{3};-1{,}5\right). \] ### г) \(f(x)=3\sin\frac{x}{2}\) - \(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-3;3],\quad T=4\pi\). - Нули: \(x=2\pi n\). - \(f>0\): \((4\pi n;2\pi+4\pi n)\). \(f<0\): \((2\pi+4\pi n;4\pi+4\pi n)\). - Возрастает: \((-\pi+4\pi n;\pi+4\pi n)\). Убывает: \((\pi+4\pi n;3\pi+4\pi n)\). - \(\max f=3\) при \(x=\pi+4\pi n\); \(\min f=-3\) при \(x=3\pi+4\pi n\). - График: синусоида с амплитудой 3, растянутая в 2 раза вдоль \(Ox\). Опорные точки: \[ (0;0),\ (\pi;3),\ (2\pi;0),\ (3\pi;-3),\ (4\pi;0). \] --- ## 105 ### а) \(f(x)=\frac12\operatorname{tg}2x\) - \(D(f):\ x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\). \(E(f)=\mathbb R,\quad T=\frac{\pi}{2}\). - Нули: \(x=\frac{\pi n}{2}\). - Асимптоты: \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\). - На каждой ветви: \[ f<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi n}{2}\right), \] \[ f>0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right). \] - Возрастает на каждом интервале \[ \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right). \] - Экстремумов нет. - График: тангенсоида, сжатая в 2 раза вдоль \(Ox\) и в 2 раза вдоль \(Oy\). На ветви \(\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right)\): \[ \left(-\frac{\pi}{8};-\frac12\right),\quad (0;0),\quad \left(\frac{\pi}{8};\frac12\right), \] а \(x=\pm\frac{\pi}{4}\) — вертикальные асимптоты. ### б) \(f(x)=-3\cos\frac{3x}{2}\) - \(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-3;3],\quad T=\frac{4\pi}{3}\). - Нули: \(x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\). - \(f>0\): \(\left(\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};\pi+\frac{4\pi n}{3}\right)\). \(f<0\): \(\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right)\). - Возрастает: \(\left(\frac{4\pi n}{3};\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right)\). Убывает: \(\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3};\frac{4\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\right)\). - \(\max f=3\) при \(x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi n}{3}\); \(\min f=-3\) при \(x=\frac{4\pi n}{3}\). - График: отражённая косинусоида с амплитудой 3, начинается с минимума. Опорные точки: \[ (0;-3),\ \left(\frac{\pi}{3};0\right),\ \left(\frac{2\pi}{3};3\right),\ (\pi;0),\ \left(\frac{4\pi}{3};-3\right). \] ### в) \(f(x)=-2\operatorname{ctg}\frac{x}{3}\) - \(D(f):\ x\ne3\pi n\). \(E(f)=\mathbb R,\quad T=3\pi\). - Нули: \(x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n\). - Асимптоты: \(x=3\pi n\). - \(f<0\): \(\left(3\pi n;\frac{3\pi}{2}+3\pi n\right)\). \(f>0\): \(\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;3\pi+3\pi n\right)\). - Возрастает на каждом интервале \[ (3\pi n;3\pi(n+1)). \] - Экстремумов нет. - График: котангенсоида, отражённая от оси \(Ox\), поэтому на каждой ветви она идёт снизу вверх. На ветви \((0;3\pi)\): \[ x\to0+,\ f\to-\infty;\qquad x=\frac{3\pi}{2},\ f=0;\qquad x\to3\pi-,\ f\to+\infty. \] Для контроля: \(f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-2\), \(f\left(\frac{9\pi}{4}\right)=2\). ### г) \(f(x)=2{,}5\sin\frac{4x}{3}\) - \(D(f)=\mathbb R,\quad E(f)=[-2{,}5;2{,}5],\quad T=\frac{3\pi}{2}\). - Нули: \(x=\frac{3\pi n}{4}\). - \(f>0\): \(\left(\frac{3\pi n}{2};\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}\right)\). \(f<0\): \(\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2};\frac{3\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2}\right)\). - Возрастает: \(\left(-\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\right)\). Убывает: \(\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2};\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\right)\). - \(\max f=2{,}5\) при \(x=\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\); \(\min f=-2{,}5\) при \(x=\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi n}{2}\). - График: синусоида с амплитудой \(2{,}5\). Опорные точки: \[ (0;0),\ \left(\frac{3\pi}{8};2{,}5\right),\ \left(\frac{3\pi}{4};0\right),\ \left(\frac{9\pi}{8};-2{,}5\right),\ \left(\frac{3\pi}{2};0\right). \] **Проверка:** например, в 104 а \(f(0)=\frac12\), \(f(3\pi)=-\frac12\), \(f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0\), период \(6\pi\) — всё сходится. В 105 а \(f\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac12\), \(f\left(-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac12\), а \(x=\frac{\pi}{4}\) — асимптота.