Мисоли 99 ро мисли а ш хал кун ва графикашро низ каш
Ҳалли мисоли 99 (ҳамаи се қисм):
\[ \begin{aligned} \text{а) }&x^2-5x+4>0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty);\\ \text{б) }&x^2+4x<0 \;\Rightarrow\; x\in(-4;0);\\ \text{в) }&2x^2-7x-15\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup[5;+\infty). \end{aligned} \]
Принсипи ҳал
- Муодилаи ба нобаробарӣ мувофиқро ҳал мекунем — решаҳо нуқтаҳои буриши график бо меҳвари \(Ox\) мешаванд.
- Дар ин мисолҳо коэффициентҳои \(x^2\) мусбатанд, бинобар ин парабола шохаҳояшро ба боло мебарорад.
- Байни решаҳо график зери меҳвари \(Ox\) аст, берун аз решаҳо — болои он.
- Барои \(>0\) ё \(\ge 0\) фосилаҳои берун аз решаҳоро мегирем; барои \(<0\) — фосилаи байни решаҳоро.
- Агар аломат \(>\) ё \(<\) бошад, решаҳо дохил намешаванд;
- агар \(\ge\) ё \(\le\) бошад, решаҳо дохил мешаванд.
Ҳал
а)
\[
x^2-5x+4=0,\qquad D=25-16=9,
\]
\[
x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+3}{2}=4.
\]
Азбаски \(>0\), фосилаҳои берун лозиманд, худи 1 ва 4 дохил нестанд:
\[
x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty).
\]
б)
\[
x^2+4x<0 \;\Leftrightarrow\; x(x+4)<0.
\]
Решаҳо: \(-4\) ва \(0\). Азбаски \(<\) аст, фосилаи байни онҳо лозим аст:
\[
x\in(-4;0).
\]
в)
\[
2x^2-7x-15=0,
\]
\[
D=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-15)=49+120=169,
\]
\[
x_{1,2}=\frac{7\pm13}{4}.
\]
Пас:
\[
x_1=-\frac32=-1{,}5,\qquad x_2=5.
\]
Азбаски \(\ge0\), фосилаҳои берун ва худи решаҳо дохил мешаванд:
\[
x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup[5;+\infty).
\]
Барои кашидани графикҳо
| Қисм | Буриш бо \(Ox\) | Қуллаи парабола | Соя кардан |
|---|---|---|---|
| а) | \((1;0)\), \((4;0)\) | \((2{,}5;-2{,}25)\) | Берун аз 1 ва 4; доираҳо холӣ |
| б) | \((-4;0)\), \((0;0)\) | \((-2;-4)\) | Байни \(-4\) ва \(0\); доираҳо холӣ |
| в) | \((-1{,}5;0)\), \((5;0)\) | \((1{,}75;-21{,}125)\) | Берун аз \(-1{,}5\) ва 5; нуқтаҳо пурра |
Ҳар се парабола ба боло кушода мешавад. Барои дақиқтар кашидан:
- а) бо меҳвари \(Oy\) дар \((0;4)\) мебурад;
- б) аз координатаҳои \((0;0)\) мегузарад;
- в) бо меҳвари \(Oy\) дар \((0;-15)\) мебурад.
Санҷиш: мисолҳои оддӣ мегузорем —
а) \(x=0\): \(4>0\) — дуруст;
б) \(x=-2\): \(-4<0\) — дуруст;
в) \(x=6\): \(72-42-15=15\ge0\) — дуруст.
Пас фосилаҳо дурустанд.
Обсуждение
2 сообщенияМисоли 99 б шро хал кун шаг за шагом
Мисоли 99 б: \(x^2+4x<0\)
Қадам 1. Нобаробариро менависем
\[ x^2+4x<0 \]
Қадам 2. Талуқо таҷзия мекунем
\(x\)-ро аз қавс мебарорем: \[ x(x+4)<0 \]
Қадам 3. Решаҳои муодиларо меёбем
Ба ҷои аломати нобаробарӣ аломати баробарӣ мегузорем: \[ x(x+4)=0 \] Ҳосили зарб ба сифр баробар аст, агар яке аз зарбшавандаҳо сифр бошад: \[ x=0 \quad \text{ё} \quad x+4=0 \Rightarrow x=-4 \] Пас решаҳо: \(x_1=-4\), \(x_2=0\).
Қадам 4. Нуқтаҳоро ба меҳвари ададӣ мегузорем
Азбаски нобаробарӣ қатъӣ аст (\(<\)), нуқтаҳо холӣ (дохил намешаванд):
\[ -\infty \;\; \circ\!\!\!-\!\!4 \;\; \circ\!\!\!0 \;\; +\infty \]
Меҳвар ба се фосила ҷудо мешавад: \[ (-\infty;-4),\quad (-4;0),\quad (0;+\infty) \]
Қадам 5. Аломати ифодаро дар ҳар фосила муайян мекунем
Ифода: \(x(x+4)\)
| Фосила | Нуқтаи санҷишӣ | Қимат | Аломат |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;-4)\) | \(x=-5\) | \((-5)(-1)=5\) | \(+\) |
| \((-4;0)\) | \(x=-2\) | \((-2)(2)=-4\) | \(-\) |
| \((0;+\infty)\) | \(x=1\) | \(1\cdot5=5\) | \(+\) |
Мо аломати манфӣ (\(<0\)) мехоҳем — пас фосилаи дуюм лозим аст.
Қадам 6. Ҷавоб
\[ \boxed{x\in(-4;\,0)} \]
График
Графики \(y=x^2+4x\) — парабола, шохаҳояш ба боло (зеро ки коэффициенти \(x^2\) мусбат аст).
- Нуқтаҳои буриш бо меҳвари \(Ox\): \((-4;0)\) ва \((0;0)\).
- Қулла: \(x=-\dfrac{4}{2}=-2\), \(\;y=(-2)^2+4(-2)=4-8=-4\), яъне қулла дар \((-2;-4)\).
y
| /
| /
-----●----●------→ x
-4 |
\ |
\ |
\ |
● (-2; -4)
Қисми парабола, ки зери меҳвари \(Ox\) аст (байни \(-4\) ва \(0\)), ҷавоб аст. Нуқтаҳои \(-4\) ва \(0\) бо доираҳои холӣ нишон дода мешаванд, чунки нобаробарӣ қатъӣ аст.
Санҷиш: \(x=-1\) (аз фосила): \((-1)^2+4(-1)=1-4=-3<0\) — дуруст. ✓
