Реши
На фото записана только функция \(y=x^3-3x^2+4\), без формулировки задания. Если нужно было решить уравнение \(y=0\), ответ:
\[
x=-1 \quad \text{или} \quad x=2.
\]
Ниже — полный разбор функции, включая график.
Кратко
\[ y=x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1). \]
- Нули функции: \(x=-1\) и \(x=2\). При \(x=2\) корень двойной, поэтому график касается оси \(Ox\), а не пересекает её.
- Точка на оси \(Oy\): \((0;4)\).
- Локальный максимум: \((0;4)\).
- Локальный минимум: \((2;0)\).
- Возрастает при \(x<0\) и \(x>2\), убывает при \(0<x<2\).
- Точка перегиба: \((1;2)\).
Как это получено
Разложение на множители. \[ x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1). \] Отсюда сразу видны нули: \(x=-1\) и \(x=2\). Второй корень двойной, поэтому в точке \((2;0)\) график касается оси.
Производная и экстремумы. \[ y'=3x^2-6x=3x(x-2). \] Знаки производной:
- при \(x<0\): \(y'>0\) — функция возрастает;
- при \(0<x<2\): \(y'<0\) — убывает;
- при \(x>2\): \(y'>0\) — снова возрастает.
Значит, в \(x=0\) максимум: \[ y(0)=4. \] В \(x=2\) минимум: \[ y(2)=0. \]
Точка перегиба. \[ y''=6x-6=6(x-1). \] Вторая производная меняет знак при \(x=1\), причём \[ y(1)=1-3+4=2. \] Поэтому \((1;2)\) — точка перегиба.
Построение графика.
Отметьте точки: \[ (-1;0),\ (0;4),\ (1;2),\ (2;0),\ (3;4). \] График идёт слева снизу, пересекает ось \(Ox\) в \((-1;0)\), поднимается до максимума \((0;4)\), затем опускается и касается оси в \((2;0)\), после чего уходит вверх. Асимптот у многочлена нет.
Проверка: подстановка \(x=-1\) и \(x=2\) в исходную формулу даёт \(0\); \(y(0)=4\), \(y(2)=0\). Знаки производной на промежутках тоже совпадают: \(+\), \(-\), \(+\).
