Реши

Судя по фото, дана функция
\[ y=x^3-3x^2+4. \] Формулировка задания не попала в кадр. Ниже — стандартное исследование функции и всё необходимое для построения графика.

Краткий ответ

• Нули функции: \(x=-1\) и \(x=2\).
• Максимум: \((0;4)\).
• Минимум: \((2;0)\), причём в этой точке график касается оси \(Ox\).
• Точка перегиба: \((1;2)\).
• Функция возрастает на \((-\infty;0]\) и \([2;+\infty)\), убывает на \([0;2]\).
• Если нужно было только найти производную: \[ y'=3x^2-6x. \]

Как это получить

1. Нули функции

Решаем: \[ x^3-3x^2+4=0. \] Подходит \(x=-1\): \[ (-1)^3-3(-1)^2+4=-1-3+4=0. \] Разложим на множители: \[ x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2. \] Значит, \[ x=-1 \quad \text{или} \quad x=2. \] Корень \(x=2\) двойной, поэтому в точке \((2;0)\) график только касается оси \(Ox\).

Также \[ y(0)=4, \] то есть график пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;4)\).

2. Производная и экстремумы

\[ y'=3x^2-6x=3x(x-2). \] Критические точки: \[ x=0,\qquad x=2. \]

Определяем знаки производной:

\[ y'>0 \text{ при } x<0, \] \[ y'<0 \text{ при } 0<x<2, \] \[ y'>0 \text{ при } x>2. \]

Значит:

• при \(x=0\) максимум: \[ y(0)=4; \]
• при \(x=2\) минимум: \[ y(2)=8-12+4=0. \]

3. Вторая производная

\[ y''=6x-6=6(x-1). \] Точка перегиба: \[ x=1, \] \[ y(1)=1-3+4=2. \] То есть точка перегиба — \((1;2)\).

4. Точки для построения графика

\[ \begin{array}{c|cccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & -16 & 0 & 4 & 2 & 0 & 4 \end{array} \]

Ещё полезно знать поведение на бесконечности: \[ x\to-\infty \Rightarrow y\to-\infty, \] \[ x\to+\infty \Rightarrow y\to+\infty. \]

График — кубическая парабола: поднимается к максимуму \((0;4)\), затем опускается к минимуму \((2;0)\), касается там оси \(Ox\) и после этого снова уходит вверх.