Реши с графиком
Судя по записи, нужно исследовать функцию и построить её график.
Кратко.
\[
y=x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2
\]
Нули: \(x=-1\) и \(x=2\) (в точке \(x=2\) график только касается оси \(Ox\)).
Промежутки: возрастает на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\), убывает на \((0;2)\).
Локальный максимум: \((0;4)\), локальный минимум: \((2;0)\).
Точка перегиба: \((1;2)\).
Почему так
Нули и ось \(Oy\): \[ (x+1)(x-2)^2=0 \Rightarrow x=-1,\ x=2. \] При \(x=0\): \[ y(0)=4. \] То есть график проходит через \((-1;0)\), \((2;0)\), \((0;4)\).
Производная и монотонность: \[ y'=3x^2-6x=3x(x-2). \] Критические точки: \(x=0\), \(x=2\).
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;0)&0&(0;2)&2&(2;+\infty)\\ \hline y'&+&0&-&0&+\\ y&\nearrow&\max&\searrow&\min&\nearrow \end{array} \]
Значит: \[ y_{\max}=y(0)=4,\qquad y_{\min}=y(2)=0. \]
Выпуклость и точка перегиба: \[ y''=6x-6=6(x-1). \] При \(x<1\) график имеет вид \(\cap\), при \(x>1\) — вид \(\cup\).
В точке \(x=1\): \[ y(1)=1-3+4=2, \] поэтому точка перегиба — \((1;2)\).Точки для построения графика:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&0&4&2&0&4 \end{array} \]
Как выглядит график: слева график идёт снизу, пересекает ось \(Ox\) в точке \((-1;0)\), поднимается до максимума \((0;4)\), затем опускается через \((1;2)\), касается оси \(Ox\) в точке \((2;0)\) и после этого возрастает вверх.
Проверка. Разложение можно проверить обратным умножением: \[ (x+1)(x-2)^2=(x+1)(x^2-4x+4)=x^3-3x^2+4. \] Всё совпадает.
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение №926. Пункт 1 уже разобран выше; ниже — п. 2–4.
Все функции — многочлены, поэтому \(D(y)=\mathbb R\), асимптот нет.
2) \(y=2+3x-x^3\)
\[ y=-(x-2)(x+1)^2,\qquad y'=3(1-x)(1+x),\qquad y''=-6x. \]
- Нули: \(x=-1\) — касание оси \(Ox\), \(x=2\) — пересечение.
- Убывает на \((-\infty;-1)\) и \((1;+\infty)\), возрастает на \((-1;1)\).
- Минимум: \((-1;0)\); максимум: \((1;4)\).
- Точка перегиба: \((0;2)\).
- Дополнительные точки: \((-2;4)\), \((0;2)\), \((2;0)\), \((3;-16)\).
Эскиз графика:
\[
+\infty \searrow (-1;0)\nearrow (1;4)\searrow (2;0)\searrow -\infty
\]
3) \(y=-x^3+4x^2-4x\)
\[ y=-x(x-2)^2,\qquad y'=-(3x-2)(x-2),\qquad y''=8-6x. \]
- Нули: \(x=0\) — пересечение, \(x=2\) — касание оси \(Ox\).
- Убывает на \((-\infty;\tfrac23)\), возрастает на \((\tfrac23;2)\), убывает на \((2;+\infty)\).
- Минимум: \(\left(\tfrac23;-\tfrac{32}{27}\right)\).
- Максимум: \((2;0)\).
- Точка перегиба: \(\left(\tfrac43;-\tfrac{16}{27}\right)\).
- Дополнительные точки: \((-1;9)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;0)\), \((3;-3)\).
Эскиз графика:
\[
+\infty \searrow (0;0)\searrow \left(\tfrac23;-\tfrac{32}{27}\right)\nearrow (2;0)\searrow -\infty
\]
4) \(y=x^3+6x^2+9x\)
\[ y=x(x+3)^2,\qquad y'=3(x+1)(x+3),\qquad y''=6x+12. \]
- Нули: \(x=-3\) — касание оси \(Ox\), \(x=0\) — пересечение.
- Возрастает на \((-\infty;-3)\), убывает на \((-3;-1)\), возрастает на \((-1;+\infty)\).
- Максимум: \((-3;0)\).
- Минимум: \((-1;-4)\).
- Точка перегиба: \((-2;-2)\).
- Дополнительные точки: \((-4;-4)\), \((-3;0)\), \((-2;-2)\), \((-1;-4)\), \((0;0)\), \((1;16)\).
Эскиз графика:
\[
-\infty \nearrow (-3;0)\searrow (-1;-4)\nearrow (0;0)\nearrow +\infty
\]
Кратко для п. 1
\[ y=x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2 \]
- Максимум: \((0;4)\), минимум: \((2;0)\), перегиб: \((1;2)\).
- Нули: \(x=-1\), \(x=2\) — касание.
Эскиз:
\[
-\infty \nearrow (-1;0)\nearrow (0;4)\searrow (1;2)\searrow (2;0)\nearrow +\infty
\]
Графики — плавные кубические кривые: нанесите указанные точки и проведите линию с учётом максимумов и минимумов.
