7-класстын математикасы эки чоң блоктон турат: алгебра жана геометрия. Төмөндө негизги темалар, ар бирине кыска эреже жана мисал келтирилди.

---

АЛГЕБРА

1. Даража жана анын касиеттери

\(a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}\)

• \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\)
• \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
• \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \((ab)^n = a^n b^n\)

Мисал: \(2^3\cdot 2^4 = 2^7 = 128\); \((x^3)^2 = x^6\); \((2a)^3 = 8a^3\).

2. Бир мүчөлөр жана көп мүчөлөр

Көп мүчөнү көбөйтүүдө ар бир мүчөгө көбөйтөбүз, анан окшош мүчөлөрдү жыйнайбыз.

Мисал: \(3x^2(2x+5) = 6x^3 + 15x^2\) \((2x^2+3x) + (x^2-5x) = 3x^2 - 2x\)

3. Кыскача көбөйтүү формулалары (эң маанилүү!)

\[(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\] \[a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\] \[(a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\] \[a^3 \pm b^3 = (a\pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\]

Мисал: \((x+3)^2 = x^2+6x+9\) \(49-x^2 = (7-x)(7+x)\) Эсептөө тригү: \(101^2 = (100+1)^2 = 10000+200+1 = 10201\) \(99\cdot 101 = (100-1)(100+1) = 10000-1 = 9999\)

4. Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу

Үч ыкма: жалпы көбөйтүүчүнү кашаага чыгаруу, топтоо, формулалар.

Мисал: \(6x^3-9x^2 = 3x^2(2x-3)\) \(ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)\) \(x^2-10x+25 = (x-5)^2\)

5. Сызыктуу теңдемелер

Белгисизди бир жагына, сандарды экинчи жагына жыйнайбыз.

Мисал: \(5x-7 = 3x+5 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\) Текшерүү: \(5\cdot6-7 = 23\), \(3\cdot6+5 = 23\) ✓

Маселе: эки сандын суммасы 30, айырмасы 8. \(x+y=30\), \(x-y=8\) \(\Rightarrow\) кошсок \(2x=38\), \(x=19\), \(y=11\).

6. Сызыктуу функция \(y = kx+b\)

• \(k\) — эңкейиш (k>0 өсөт, k<0 кемит), \(b\) — Oy огу менен кесилишүү чекити.
• График — түз сызык, эки чекит жетиштүү.

Мисал: \(y = 2x-1\). \(x=0 \Rightarrow y=-1\); \(x=1 \Rightarrow y=1\). Эки чекитти туташтырабыз.

7. Пропорция жана пайыз

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc\)

Мисал: 150нин 20%ы \(= 0{,}2\cdot150 = 30\). 800 сомдук товар 15% арзандады: \(800\cdot0{,}85 = 680\) сом.

---

ГЕОМЕТРИЯ

1. Жанаша жана вертикал бурчтар

Жанаша бурчтардын суммасы \(180°\), вертикал бурчтар барабар.

Мисал: бурч \(40°\) болсо, жанашасы \(140°\), вертикалы \(40°\).

2. Үч бурчтуктун теңдик белгилери

1. Эки жак жана алардын арасындагы бурч боюнча
2. Жак жана ага жанаша жаткан эки бурч боюнча
3. Үч жак боюнча

Мисал: \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1\) \(\Rightarrow\) 1-белги боюнча \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).

3. Тең капталдуу үч бурчтук

Эки жак барабар, негизиндеги бурчтар барабар. Негизге түшүрүлгөн медиана ошол эле бийиктик жана биссектриса.

Мисал: негизиндеги бурч \(70°\) \(\Rightarrow\) чокудагы бурч \(180°-2\cdot70° = 40°\).

4. Параллель түз сызыктар

Кесип өтүүчү түз сызык пайда кылган ички кайчылаш бурчтар барабар болсо — түз сызыктар параллель.

Мисал: \(\angle1 = \angle2 = 50°\) (кайчылаш) \(\Rightarrow a \parallel b\). Анда ички бир жактуу бурчтардын суммасы \(180°\).

5. Үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы

\[\angle A+\angle B+\angle C = 180°\]

Мисал: \(50°\) жана \(60°\) \(\Rightarrow\) үчүнчү бурч \(70°\). Сырткы бурч = ага жанаша эмес эки ички бурчтун суммасы: \(50°+60° = 110°\).

---

Кайсы теманы тереңирээк каалайсың? Ошого окшош 5–10 мисал берип, чогуу иштей алабыз.

Жарайт, баштан аяк жөнөкөй тилде айтып берем. Формулаларды унутуп тур, азыр принцип гана.

---

1. Даража деген эмне?

Бир санды өзүнө-өзү бир нече жолу көбөйтсөк — ошол даража. \(2^3\) дегени «2ни 3 жолу көбөйт»: \(2\cdot2\cdot2 = 8\).

Эмне үчүн керек? Узун жазууну кыскартат. \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\) деп жазганча \(2^5\) деп жазабыз.

Кошумча эрежелерди жаттабай эле түшүнсө болот: даражаларды көбөйткөндө «жогорку сандарды» кошобуз, анткени жалпысынан алганда эки тизмек жазып жатабыз.

---

2. Туюнтмалар (тамгалар менен сандар аралашкан жазуу)

\(x\) — белгисиз сан. \(3x\) дегени «3 даана \(x\)». \(3x + 5x\) дегени «3 алма + 5 алма = 8 алма», демек \(8x\).

Көбөйтүү: \(2(x+3)\) дегени «2 даана (x+3)». Ар бирин көбөйтөбүз: \(2x + 6\). Мындай эле: \(3(x+4) = 3x+12\).

---

3. Кыскача көбөйтүү формулалары — бул эмне?

Бул жөн гана даяр жооптор. Узун көбөйтүүнү жаттап алганча, даяр жыйынтыкты колдонобуз.

Эң негизгиси: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\). Кайдан келет? \((a+b)(a+b)\) — ар бир мүчөнү ар бирине көбөйтсөк ушундай чыгат. Жаттабай эле текшерип көрсөң болот.

Мисал: \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\) (ортосунда 2·x·3 = 6x).

Экинчи маанилүү: \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\). Мисал: \(49-x^2 = (7-x)(7+x)\) — бул көбөйтүүчүлөргө ажыратуу.

---

4. Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу — эмне үчүн?

Санды бөлүктөргө бөлүү сыяктуу: \(12 = 3\cdot4\). Туюнтмада да ошондой.

Мисал: \(6x^3-9x^2\). Эки мүчөдө тең \(3x^2\) бар. Аны кашаага чыгарабыз: \(3x^2(2x-3)\).

Бул эмнеге керек? Бөлчөктөрдү кыскартууга жана теңдеме чечүүгө жардам берет.

---

5. Теңдеме — тараза сыяктуу

\(5x - 7 = 3x + 5\). Таразанын эки жагы тең. Бир нерсени бир жагынан алсак, экинчи жагынан да алабыз.

\(x\)терди бир жакка, сандарды экинчи жакка жыйнайбыз: \(5x-3x = 5+7 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\).

Текшерүү: ордуна 6ны кой — эки жагы тең чыгабы? \(23 = 23\) ✓

---

6. Функция \(y = kx+b\) — бул машина

\(x\)ти саласың — \(y\) чыгат. Мисалы \(y = 2x-1\): \(x=0\) салсаң \(y=-1\), \(x=1\) салсаң \(y=1\).

Кагазга чекиттерин белгилеп, сызгыч менен туташтырсаң — түз сызык чыгат. Баары ушунда.

---

7. Пайыз — жүздөн бир бөлүк

1% = сандын жүздөн бир бөлүгү. 150нин 20%ы: \(150 : 100 \cdot 20 = 30\).

Жашоодон: 800 сомдук нерсе 15% арзандады. Биринчи 15%ын тап: \(800:100\cdot15=120\). Анан кемит: \(800-120=680\) сом.

---

8. Бурчтар

Түз сызык — \(180°\). Эки бурч бири-бирине жанында туруп, чогуу түз сызык түзсө — суммасы \(180°\) (жанаша бурчтар).

Вертикал бурчтар (каршы-каршы турган) — дайым барабар. Кайчылашкан эки сызыкты элестет — карама-каршы бурчтар бирдей.

---

9. Үч бурчтук

Эң негизги факт: бардык бурчтарынын суммасы \(180°\). Бир бурч \(50°\), экинчиси \(60°\) болсо — үчүнчүсү \(180-50-60 = 70°\).

Тең капталдуу үч бурчтук: эки жагы барабар. Ошондо негизиндеги эки бурчу да барабар. Бул логикалык: жагы барабар болсо, бурчу да барабар.

---

10. Параллель сызыктар

Параллель — бири-бирине тийбеген, бирдей аралыкта жаткан сызыктар (рельс сыяктуу).

Үчүнчү сызык аларды кесип өткөндө бурчтар пайда болот. Эгер «кайчылаш» бурчтар барабар болсо — сызыктар параллель. Бул белги, далил эмес: көрүп туруп аныктайбыз.

---

Мына ушундай. Эми кайсынысы түшүнүксүз бойдон калды? Ошону алып, бирге эки-үч мисал иштеп көрөлү — ошондо так орнойт.

Түшүнүктүү. Ар бир теманы бирдей схема менен берем: эмне экенин айтам → эрежесин жазам → мисал көрсөтөм → кантип текшерүүнү кошом. Окуганда ар бир блокту өз-өзүнчө түшүн.

---

АЛГЕБРА

1. Даража

Эмне: санды өзүнө бир нече жолу көбөйтүүнүн кыска жазуусу.

Эреже: \(a^n\) — бул \(a\) саны \(n\) жолу көбөйтүлөт. \(a\) — негиз, \(n\) — көрсөткүч.

Мисал: \(3^4 = 3\cdot3\cdot3\cdot3 = 81\). \(x^5 = x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\).

Касиеттери: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\). Текшерүү: \(2^3\cdot2^2 = 8\cdot4 = 32 = 2^5\) ✓ — эреже туура.

Эскертүү: \(a^0 = 1\) (нөл эмес сан үчүн).

---

2. Бир мүчө жана көп мүчө

Эмне: бир мүчө — сан менен тамганын көбөйтүндүсү (\(5x^2y\)). Көп мүчө — бир нече бир мүчөнүн суммасы (\(3x^2-5x+7\)).

Эреже: кошууда/кемитүүдө окшош мүчөлөрдү жыйнайбыз (тамга бөлүгү бирдей болгондорду). Көбөйтүүдө биринчи көп мүчөнүн ар бир мүчөсүн экинчисинин ар бирине көбөйтөбүз.

Мисал:

• \(7x^2 + 4x^2 - 2x = 11x^2 - 2x\) (алгачкы экөө окшош, \(-2x\) башка)
• \(2x(3x+4) = 6x^2 + 8x\)
• \((x+2)(x+3) = x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6\)

Текшерүү: \(x=1\) коюп көр. \((1+2)(1+3)=12\), \(1+5+6=12\) ✓

---

3. Кыскача көбөйтүү формулалары

Эмне: дайым кайталанган көбөйтүүлөрдүн даяр жообу. Жаттоо эмес — таанып колдонуу керек.

Формула	Кыргызча айтылышы
\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)	«биринчинин квадраты + эки эсе көбөйтүндү + экинчинин квадраты»
\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)	ушундай эле, ортосунда минус
\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\)	«квадраттардын айырмасы = айырма · сумма»
\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)	кубдар
\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)	кубдардын айырмасы

Мисал: \((x+5)^2 = x^2+10x+25\). \((2x-3)^2 = 4x^2-12x+9\). \(16-y^2 = (4-y)(4+y)\). Эсептөө тригү: \(98^2 = (100-2)^2 = 10000-400+4 = 9604\).

Текшерүү: \((x+5)^2\)-де \(x=0\) кой: \(25\); оң жагында \(0+0+25=25\) ✓

---

4. Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу

Эмне: туюнтманы көбөйтүндү түрүндө жазуу (\(12 = 3\cdot4\) сыяктуу).

Үч ыкма, дайым ушул тартипте аракет кыл:

1. Жалпы көбөйтүүчүнү изде: \(6x^3-9x^2 = 3x^2(2x-3)\)
2. Формула барбы? \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\)
3. Топтоо ыкмасы: \(ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)\)

Текшерүү: кашааны ачып көр — баштапкы туюнтма чыгышы керек.

---

5. Сызыктуу теңдеме

Эмне: белгисиз биринчи даражада турган теңдеме. Максат — \(x\)ти жалгыз калтыруу.

Эреже: тараза сыяктуу. Бир жагына эмне кылсаң, экинчи жагына да ошону кыл. \(x\)терди бир жакка, сандарды экинчи жакка жыйна.

Мисал: \(4x - 9 = x + 6\) \(4x - x = 6 + 9\) \(3x = 15\) \(x = 5\)

Текшерүү: сол жак \(4\cdot5-9=11\), оң жак \(5+6=11\) ✓ — текшерүү милдеттүү, катаны ошол кармайт.

Маселе: эки сандын суммасы 34, бири экинчисинен 6га чоң. Кичиси \(= x\), чоңу \(= x+6\). \(x+(x+6)=34 \Rightarrow 2x=28 \Rightarrow x=14\). Жообу: 14 жана 20.

---

6. Сызыктуу функция \(y = kx+b\)

Эмне: «машина»: \(x\) саласың — \(y\) чыгат. Графиги — түз сызык.

Эреже: түз сызык үчүн эки чекит жетиштүү. \(k\) — эңкейиши (\(k>0\) өсөт, \(k<0\) кемит), \(b\) — графиктин Oy огу менен кесилишүү чекити.

Мисал: \(y = 2x-1\). \(x=0 \Rightarrow y=-1\); \(x=2 \Rightarrow y=3\). Эки чекитти белгилеп, сызгыч менен туташтыр.

Текшерүү: график Oy огунан \(-1\)де өтүшү керек — сүрөттөн көрүнөт.

---

7. Пропорция жана пайыз

Эмне: пропорция — эки катыштын барабардыгы. Пайыз — сандын жүздөн бир бөлүгү.

Эреже: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = bc\) (айкаш көбөйтүү). Пайыз: санды \(100\)гө бөлүп, пайызга көбөйт.

Мисал: \(250\)нин \(12\%\)ы \(= 250:100\cdot12 = 30\). Товар 1200 сом, \(20\%\) арзандады: \(1200:100\cdot20=240\), баасы \(1200-240=960\) сом.

Текшерүү: жооп баштапкы сандан кичине болушу керек (арзандаганда).

---

ГЕОМЕТРИЯ

8. Бурчтар

Эмне: эки нур бир чекиттен чыкканда пайда болгон фигура. Түз бурч \(=90°\), жайылган \(=180°\).

Жанаша бурчтар — жалпы жактары бар, чогуу түз сызык түзөт: суммасы \(180°\). Вертикал бурчтар — кайчылашкан сызыктардын каршы бурчтары: дайым барабар.

Мисал: бурч \(35°\). Жанашасы \(180-35=145°\). Вертикалы \(35°\). Текшерүү: \(35+145=180\) ✓

---

9. Үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы

Эреже: \(\angle A+\angle B+\angle C = 180°\) — бул геометриядагы эң негизги факт.

Сырткы бурч = ага жанаша эмес эки ички бурчтун суммасы.

Мисал: бурчтар \(45°\) жана \(65°\) \(\Rightarrow\) үчүнчүсү \(180-45-65=70°\). Сырткы бурч: \(45+65=115°\).

Текшерүү: \(115+65=180\) ✓ (жанаша болушу керек)

---

10. Үч бурчтуктардын теңдиги

Эмне: эки үч бурчтуктун бардык жактары жана бурчтары дал келсе — тең.

Үч белги:

1. Эки жак жана алардын арасындагы бурч
2. Жак жана ага жанаша жаткан эки бурч
3. Үч жак

Мисал: \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\) \(\Rightarrow\) 1-белги боюнча \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).

Эскертүү: бурч сөзсүз арасында болушу керек — «эки жак жана каптал бурч» белги эмес.

---

11. Тең капталдуу үч бурчтук

Эмне: эки жагы барабар болгон үч бурчтук. Барабар эмес жагы — негиз.

Эреже: негизиндеги бурчтар барабар. Негизге түшүрүлгөн медиана ошол эле бийиктик жана биссектриса болот.

Мисал: негизиндеги бурч \(70°\) \(\Rightarrow\) чокудагы бурч \(180-70-70=40°\). Жактары \(5\) см, негизи \(6\) см \(\Rightarrow\) периметри \(5+5+6=16\) см.

Текшерүү: бурчтардын суммасы \(180°\) болушу керек: \(70+70+40=180\) ✓

---

12. Параллель түз сызыктар

Эмне: бири-бирине тийбеген, бирдей аралыкта жаткан сызыктар.

Эреже: үчүнчү сызык кесип өткөндө:

• кайчылаш бурчтар барабар
• бир жактуу бурчтардын суммасы \(180°\)
• тийиштүү бурчтар барабар

Бул белгилердин бири аткарылса — сызыктар параллель.

Мисал: кайчылаш бурчтар \(50°\) жана \(50°\) \(\Rightarrow\) \(a\parallel b\). Анда бир жактуу бурчтар \(50°\) жана \(130°\) болот.

---

Кантип окуу керек (кыска план)

1. Формуланы жаттабай, адегенде маанисин түшүн (ал эмне кылып жатат).
2. Ар бир темага 3 мисал иште: бирин көрүп, экинчисин өзүң, үчүнчүсүн текшерүү менен.
3. Жообуңду дайым текшер — математикада текшерүү эң пайдалуу адат.
4. Ката кетсе — кайсы кадамда кеткенин тап, ошол жерди кайра кара.

Кайсы темадан баштайбыз? Бир теманы танда — ошого 5 мисал берип, чогуу иштеп, жоопторуңду текшерип берем.