Реши номер 1008

Кратко:

\[ \text{a) }27x^3y;\qquad \text{б) }\frac{20a^6}{b^2};\qquad \text{в) }\frac{4b^{12}}{a^{10}};\qquad \text{г) }\frac{y^6}{2x^5}. \]

Считаем, что все переменные, которые стоят в знаменателях, не равны нулю.

Принцип

Используем правила степеней:

\[ a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}, \] \[ (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n. \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Подробно

а)
\[ \left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2} = \left(\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}}\right)^2 = \frac{9y^{-4}}{4x^{-2}} = \frac94x^2y^{-4}. \]

Умножаем:

\[ \frac94x^2y^{-4}\cdot 12xy^5 =27x^3y. \]

б)
\[ \left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}=\frac5{ab}. \]

Тогда:

\[ 4a^7b^{-1}\cdot \frac5{ab} = 20a^{7-1}b^{-1-1} = 20a^6b^{-2} = \frac{20a^6}{b^2}. \]

в)
\[ (2a^{-2}b^3)^2=4a^{-4}b^6, \] \[ \left(\frac ab\right)^{-6}=a^{-6}b^6. \]

Перемножаем:

\[ 4a^{-4}b^6\cdot a^{-6}b^6 = 4a^{-10}b^{12} = \frac{4b^{12}}{a^{10}}. \]

г)
\[ \left(\frac{2x^2}{y^3}\right)^{-1} = \frac{y^3}{2x^2} = \frac12x^{-2}y^3, \] \[ (x^{-1}y)^3=x^{-3}y^3. \]

Перемножаем:

\[ \frac12x^{-2}y^3\cdot x^{-3}y^3 = \frac12x^{-5}y^6 = \frac{y^6}{2x^5}. \]

Проверка: например, в пункте а при \(x=1,\ y=1\) исходное выражение равно
\(\left(\frac23\right)^{-2}\cdot12=\frac94\cdot12=27\), и ответ \(27x^3y\) тоже даёт \(27\).