Реши задание на изображении
Кратко:
\[
y=-x^2-1,\quad x\ne -2,
\]
то есть это парабола \(y=-x^2-1\) с выколотой точкой \((-2;-5)\).
Ответ:
\[
\boxed{k=-2;\ 2;\ \frac52}
\]
1. Построение графика
Так как \[ -2-x=-(x+2), \] то при \(x\ne -2\): \[ y=\frac{(x^2+1)(x+2)}{-(x+2)}=-(x^2+1)=-x^2-1. \]
График — парабола \(y=-x^2-1\), ветви вниз, вершина \((0;-1)\).
При \(x=-2\) исходная функция не определена, поэтому точка \((-2;-5)\) выколота.
Можно отметить точки:
\((0;-1)\), \((1;-2)\), \((-1;-2)\), \((2;-5)\), а \((-2;-5)\) — выколотая.
2. Сколько общих точек с прямой \(y=kx\)
Ищем пересечения: \[ kx=-x^2-1. \] Получаем: \[ x^2+kx+1=0,\qquad x\ne -2. \]
Дискриминант: \[ D=k^2-4. \]
- Если \(|k|<2\), то \(D<0\) — общих точек нет.
- Если \(k=\pm2\), то \(D=0\) — ровно одна общая точка.
- Если \(|k|>2\), обычно две точки, но одна из них может попасть в выколотую \(x=-2\).
Проверяем \(x=-2\): \[ (-2)^2-2k+1=0 \] \[ 5-2k=0,\qquad k=\frac52. \]
При \(k=\frac52\) корни уравнения: \(-2\) и \(-\frac12\). Точка \(x=-2\) выколота, значит остаётся ровно одна общая точка: \(x=-\frac12\).
Поэтому: \[ \boxed{k=-2,\quad k=2,\quad k=\frac52} \]
Ключевая идея: после сокращения дроби обязательно сохраняй запрещённое значение \(x=-2\) — из-за него появляется дополнительный ответ \(k=\frac52\).
