Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ для электронной тетради (Геометрия, 9 класс, урок 17 «Решение треугольников»)

Фраза целиком должна сложиться так:

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Что выбирать в выпадающих списках:

1. нахождение всех его шести элементов
2. (т. е. трёх сторон и трёх углов)
3. по каким-нибудь трём данным элементам — и, если «определяющим треугольник» идёт отдельной строкой в том же списке, это продолжение того же варианта.

Почему так (принцип):

• У треугольника 6 элементов: 3 стороны + 3 угла. «Решить треугольник» = найти все неизвестные из них, а не «некоторые» — поэтому вариант «нахождение некоторых его элементов» не подходит.
• Двух элементов для однозначного восстановления треугольника недостаточно (например, по двум сторонам можно построить бесконечно много разных треугольников) — поэтому «по двум данным элементам» неверно.
• А вот три подходящих элемента (две стороны и угол между ними; три стороны; сторона и два прилежащих угла) задают треугольник однозначно — именно поэтому в определении говорится про три элемента, «определяющие треугольник».

Проверка: в собранном виде получается классическое определение из учебника, и все три «дырки» заполнены согласованно — «всех шести элементов», уточнение в скобках, затем «по трём данным элементам». Если после выбора какой-то вариант не стыкуется по смыслу (например, в скобках оказались «только углов»), значит выбран не тот пункт списка.

Если ты про последний пропуск в определении, то в него идёт:

по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник

Вся фраза целиком тогда выглядит так:

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Если же ты имел в виду последний пункт выпадающего списка, то напиши, какие варианты там предлагаются, — подскажу, какой из них верный.

Это продолжение того же задания — та же электронная тетрадь и то же определение.

В раскрытом списке для последнего пропуска выбирай вариант:

определяющим треугольник

Правильная фраза целиком:

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Как расставить по пропускам:

1. после «называется» → нахождение всех его шести элементов;
2. в скобках → (т. е. трёх сторон и трёх углов);
3. перед словом «элементам» → по каким-нибудь трём данным элементам;
4. последний пропуск → определяющим треугольник.

Если где-то на экране уже стоит «двум», исправь на «трём»: двух элементов для однозначного задания треугольника недостаточно.

Это продолжение той же темы — урок 17 «Решение треугольников», следующее задание в той же электронной тетради.

Ответы по пропускам

Пропуск	Что выбрать
I (чему равно \(c\))	\(\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}\)
II (\(\cos A\))	\(\dfrac{c^2 + b^2 - a^2}{2bc}\)
III (\(\angle B\))	\(180^\circ - \angle A - \angle C\)

Пустые места в тексте («По теореме ___», «Пользуясь теоремой ___») заполняются словом косинусов в обоих случаях.

Почему именно так

1. Находим \(c\). По рисунку \(a = BC\), \(b = AC\), то есть угол \(C\) лежит между сторонами \(a\) и \(b\). Теорема косинусов для этой стороны:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \;\Rightarrow\; c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}\]

2. Находим \(\cos A\). Для угла \(A\) прилежащие стороны — \(b\) и \(c\):

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \;\Rightarrow\; \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

(в списке это же выражение записано как \(\dfrac{c^2 + b^2 - a^2}{2bc}\) — порядок слагаемых не важен).

3. Находим \(\angle B\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а два других угла уже известны:

\[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C\]

Осторожно с ловушками

• Вариант \(\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos A}\) не подходит: под косинусом должен стоять угол \(C\) — тот, что между сторонами \(a\) и \(b\).
• Вариант \(\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2bc}\) — это «переделка» формулы для \(\cos C\), а не для \(\cos A\).
• \(90^\circ - \angle A - \angle C\) неверно: сумма углов треугольника \(180^\circ\), а не \(90^\circ\).

Проверка: если \(\angle C = 90^\circ\), то \(\cos C = 0\) и \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) — получается теорема Пифагора, значит формула записана верно.

Это продолжение той же темы (Геометрия, 9 класс, урок 17 «Решение треугольников»), но другое задание — не то, что разбирали в прошлый раз (там был переход к теореме косинусов, здесь — теорема синусов). Вот ответ по картинке.

Ответы

Пропуск	Что выбрать / вписать
I (\(\angle A\))	\(180^\circ - \angle B - \angle C\)
текст «По теореме …»	синусов
II (\(c\))	\(\dfrac{a\sin C}{\sin A}\)
III (\(b\))	\(\dfrac{a\sin B}{\sin A}\)

То есть в нижние окошки I, II, III перетаскиваются (слева направо): \(180^\circ-\angle B-\angle C\), \(\dfrac{a\sin C}{\sin A}\), \(\dfrac{a\sin B}{\sin A}\).

Почему так

1. Угол \(A\). Сумма углов треугольника \(180^\circ\), а \(\angle B\) и \(\angle C\) даны:

\[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\]

2. Теорема синусов. Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

3. Сторона \(c\) (противолежит угол \(C\), известная сторона \(a\) — против угла \(A\)):

\[\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \;\Rightarrow\; c = \frac{a\sin C}{\sin A}\]

4. Сторона \(b\) (противолежит угол \(B\)):

\[\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \;\Rightarrow\; b = \frac{a\sin B}{\sin A}\]

Ловушки в списке

• \(\dfrac{a\sin A}{\sin C}\) — «перевёрнутая» формула: синус угла \(A\) должен стоять в знаменателе, потому что \(a\) противолежит углу \(A\).
• \(90^\circ - \angle A - \angle C\) — неверно: сумма углов \(180^\circ\), а не \(90^\circ\); и вычитать нужно данные \(\angle B\) и \(\angle C\), ведь \(A\) мы как раз ищем.

Проверка: если \(\angle A = 90^\circ\), то \(\sin A = 1\), и \(b = a\sin B\), \(c = a\sin C\) — это известные соотношения в прямоугольном треугольнике (\(a\) — гипотенуза). Значит, формулы записаны верно.

Это продолжение той же темы — урок 17 «Решение треугольников», шаг 5. Задание новое, но решается той же теоремой синусов.

1) Дано: \(\angle C=45^\circ,\ \angle B=60^\circ,\ a=5\) см

\[ \angle A=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ \]

\[ c=\frac{5\sin45^\circ}{\sin75^\circ}\ \text{см} \]

\[ b=\frac{5\sin60^\circ}{\sin75^\circ}\ \text{см} \]

В поля:
\(c = 5\sin45^\circ/\sin75^\circ\)
\(b = 5\sin60^\circ/\sin75^\circ\)
\(\angle A = 75^\circ\)

---

2) Дано: \(\angle A=30^\circ,\ \angle C=45^\circ,\ b=4\) см

\[ \angle B=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ \]

\[ c=\frac{4\sin45^\circ}{\sin105^\circ}\ \text{см} \]

\[ a=\frac{4\sin30^\circ}{\sin105^\circ}\ \text{см} \]

В поля:
\(c = 4\sin45^\circ/\sin105^\circ\)
\(a = 4\sin30^\circ/\sin105^\circ\)
\(\angle B = 105^\circ\)

---

3) Дано: \(\angle B=60^\circ,\ \angle A=30^\circ,\ c=5\) см

\[ \angle C=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ \]

\[ b=\frac{5\sin60^\circ}{\sin90^\circ}\ \text{см} \]

\[ a=\frac{5\sin30^\circ}{\sin90^\circ}\ \text{см} \]

В поля:
\(b = 5\sin60^\circ/\sin90^\circ\)
\(a = 5\sin30^\circ/\sin90^\circ\)
\(\angle C = 90^\circ\)

---

Почему так: по теореме синусов
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. \] Неизвестная сторона выражается через известную сторону и синусы противолежащих углов.

Это продолжение той же темы — урок 17 «Решение треугольников». Задание новое, но решается по теореме косинусов.

Что вписать

• В пустое поле после «Пользуясь теоремой …» → косинусов
• I → четвёртая карточка:
  \[ \cos A=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc} \]
• II → вторая карточка:
  \[ \angle C=180^\circ-\angle A-\angle B \]

Почему так

По рисунку:

• \(a=BC\) — сторона против угла \(A\);
• \(b=AC\);
• \(c=AB\).

По теореме косинусов для угла \(A\): \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \] Отсюда: \[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \] Это то же самое, что \(\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\).

После нахождения углов \(A\) и \(B\) третий угол ищем из суммы углов треугольника: \[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \] Значит: \[ \angle C=180^\circ-\angle A-\angle B \]

Итого: I — \(\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\), II — \(180^\circ-\angle A-\angle B\), теорема — косинусов.

Продолжение той же темы — урок 17 «Решение треугольников», шаг 7. Задание новое, но решается по теореме косинусов.

Ответы (числитель / знаменатель)

1) \(c=3,\ a=5,\ b=7\) \[ \cos A=\frac{11}{14},\qquad \cos C=\frac{13}{14} \]

2) \(a=5,\ c=2,\ b=4\) \[ \cos C=\frac{37}{40},\qquad \cos B=\frac{13}{20} \]

3) \(b=4,\ a=3,\ c=5\) \[ \cos A=\frac{4}{5},\qquad \cos B=\frac{3}{5} \]

Как считали

По теореме косинусов угол находится через три стороны: \[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\quad \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\quad \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \]

1) \(\cos A=\dfrac{49+9-25}{2\cdot7\cdot3}=\dfrac{33}{42}=\dfrac{11}{14}\); \(\cos C=\dfrac{25+49-9}{2\cdot5\cdot7}=\dfrac{65}{70}=\dfrac{13}{14}\).

2) \(\cos C=\dfrac{25+16-4}{2\cdot5\cdot4}=\dfrac{37}{40}\); \(\cos B=\dfrac{25+4-16}{2\cdot5\cdot2}=\dfrac{13}{20}\).

3) \(\cos A=\dfrac{16+25-9}{2\cdot4\cdot5}=\dfrac{32}{40}=\dfrac{4}{5}\); \(\cos B=\dfrac{9+25-16}{2\cdot3\cdot5}=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}\).

Проверка: в третьем треугольнике \(3^2+4^2=5^2\), он прямоугольный с прямым углом \(C\) — и действительно \(\cos C=0\). Значит, формулы применены верно.

⚠️ В первом ответе \(\cos A=\frac{11}{14}\) — дробь уже сокращена, дальше не сокращайте; \(\frac{37}{40}\) тоже несократима.

Это продолжение той же темы — урок 17 «Решение треугольников». Ответ к задаче с изображения:

Ответ

\[ \boxed{AC^2=73} \] \[ \boxed{BD^2=217} \]

В поля вводите: 73 и 217; единицы измерения квадрата диагонали — см² (на экране может стоять просто «см»).

Решение

1. Диагональ \(AC\).
В треугольнике \(ABC\): \[ AB=8,\quad BC=9,\quad \angle B=60^\circ \] По теореме косинусов: \[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos 60^\circ \] \[ AC^2=64+81-2\cdot8\cdot9\cdot\frac12=145-72=73 \]

2. Диагональ \(BD\).
В параллелограмме соседние углы в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \[ \angle A=180^\circ-60^\circ=120^\circ \] В треугольнике \(ABD\): \[ AB=8,\quad AD=BC=9,\quad \angle A=120^\circ \] \[ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos120^\circ \] \[ BD^2=64+81-2\cdot8\cdot9\cdot\left(-\frac12\right)=145+72=217 \]

Проверка: большая диагональ \(BD\) лежит против тупого угла, поэтому \(BD^2>AC^2\): \(217>73\) — всё сходится.

Ответы

Стороны	Сравнение	Тип треугольника
5, 4, 4	\(5^2=25 < 4^2+4^2=32\)	остроугольный
17, 8, 15	\(17^2=289 = 8^2+15^2=289\)	прямоугольный
9, 5, 6	\(9^2=81 > 5^2+6^2=61\)	тупоугольный

Как определять

Берём наибольшую сторону \(c\) и сравниваем \(c^2\) с суммой квадратов двух других:

• \(c^2 < a^2+b^2\) → треугольник остроугольный;
• \(c^2 = a^2+b^2\) → прямоугольный (теорема Пифагора);
• \(c^2 > a^2+b^2\) → тупоугольный, причём тупой угол лежит против стороны \(c\).

Это следует из теоремы косинусов: \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\), а знак косинуса как раз и показывает, острый угол, прямой или тупой.

Проверка: во втором случае равенство точное — \(64+225=289\), поэтому угол между сторонами 8 и 15 прямой, а 17 — гипотенуза. В третьем треугольнике \(9<5+6=11\), то есть треугольник существует, но \(81>61\), значит угол против стороны 9 тупой.

Это продолжение той же темы — урок 17 «Решение треугольников», новое задание.

Ответ

\[ \angle B=180^\circ-58^\circ-30^\circ=92^\circ \]

Заполняйте так:

\[ \boxed{CK=\frac{4}{\sin 59^\circ}\ \text{см}} \]

\[ \boxed{AD=\frac{8\sin58^\circ}{\sin73^\circ}\ \text{см}} \]

\[ \boxed{BE=\frac{4\sin58^\circ}{\sin88^\circ\cdot\sin76^\circ}\ \text{см}} \]

То есть в поля:

Биссектриса	Что вписать
CK	\(4\) / \(\sin 59^\circ\)
AD	\(8\cdot\sin58^\circ\) / \(\sin73^\circ\)
BE	\(4\cdot\sin58^\circ\) / \((\sin88^\circ\cdot\sin76^\circ)\)

В последней строке оба синуса стоят в знаменателе.

Почему так

CK. В треугольнике \(ACK\): \[ \angle ACK=58^\circ:2=29^\circ,\quad \angle CAK=30^\circ \] \[ \angle AKC=180^\circ-29^\circ-30^\circ=121^\circ \] По теореме синусов: \[ CK=\frac{8\sin30^\circ}{\sin121^\circ}=\frac{4}{\sin59^\circ} \] так как \(\sin121^\circ=\sin59^\circ\).

AD. В треугольнике \(ACD\): \[ \angle CAD=30^\circ:2=15^\circ,\quad \angle ACD=58^\circ \] \[ \angle ADC=180^\circ-15^\circ-58^\circ=107^\circ \] \[ AD=\frac{8\sin58^\circ}{\sin107^\circ} =\frac{8\sin58^\circ}{\sin73^\circ} \]

BE. Сначала: \[ BC=\frac{8\sin30^\circ}{\sin92^\circ} =\frac{4}{\sin88^\circ} \] В треугольнике \(BCE\): \[ \angle CBE=92^\circ:2=46^\circ,\quad \angle BCE=58^\circ \] \[ \angle BEC=180^\circ-46^\circ-58^\circ=76^\circ \] \[ BE=\frac{BC\cdot\sin58^\circ}{\sin76^\circ} =\frac{4\sin58^\circ}{\sin88^\circ\cdot\sin76^\circ} \]

Проверка: \[ CK\approx4{,}67\ \text{см},\quad AD\approx7{,}09\ \text{см},\quad BE\approx3{,}50\ \text{см} \]

Если платформа принимает углы без приведения к острым, то эквивалентно: \(59^\circ\to121^\circ\), \(73^\circ\to107^\circ\), \(88^\circ\to92^\circ\) — значение синуса от этого не меняется.