Реши задание на изображении

Кратко

1. \(32^\circ\)
2. \(70^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ\)
3. Если в условии опечатка и дано \(\angle ABO=65^\circ\), то \(50^\circ\). При буквальном чтении \(\angle AOB=65^\circ\) ответ \(65^\circ\), так как \(\angle BOA=\angle AOB\).
4. \(105^\circ,\ 105^\circ,\ 75^\circ,\ 75^\circ\)
5. \(12\) см и \(18\) см
6. а) доказано; б) \(P=44\) см.

1. Угол в прямоугольнике

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[ OM=ON. \] Значит, треугольник \(MON\) равнобедренный. При вершине \(O\): \[ \angle MON=64^\circ. \] Тогда углы при основании: \[ \angle OMN=\angle ONM=\frac{180^\circ-64^\circ}{2}=58^\circ. \]

В прямоугольнике \(\angle NMP=90^\circ\), поэтому \[ \angle OMP=90^\circ-58^\circ=32^\circ. \]

Ответ: \(32^\circ\).

2. Углы равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы в сумме дают \(180^\circ\).

Если один угол равен \(70^\circ\), то при том же основании ещё один угол тоже \(70^\circ\). Соседние с ними: \[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(70^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ\).

3. Угол между диагоналями прямоугольника

В задании, судя по смыслу, возможна опечатка: \(\angle BOA\) и \(\angle AOB\) — это один и тот же угол.

Если в условии должно быть \(\angle ABO=65^\circ\), то решение такое:

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому \[ OA=OB. \] Треугольник \(AOB\) равнобедренный, значит \[ \angle BAO=\angle ABO=65^\circ. \] Тогда \[ \angle BOA=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ. \]

Ответ: \(50^\circ\), если дано \(\angle ABO=65^\circ\).
Если же в условии действительно \(\angle AOB=65^\circ\), то \(\angle BOA=65^\circ\).

4. Углы при меньшем основании трапеции

Сумма двух углов при меньшем основании равна \(210^\circ\). В равнобедренной трапеции эти углы равны, поэтому каждый: \[ 210^\circ:2=105^\circ. \] Соседний угол: \[ 180^\circ-105^\circ=75^\circ. \]

Ответ: \(105^\circ,\ 105^\circ,\ 75^\circ,\ 75^\circ\).

5. Стороны параллелограмма

Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая — \(x+6\) см.
Периметр: \[ 2(x+x+6)=60. \] Решаем: \[ 2(2x+6)=60, \] \[ 2x+6=30, \] \[ 2x=24, \] \[ x=12. \] Тогда большая сторона: \[ 12+6=18\text{ см}. \]

Ответ: \(12\) см и \(18\) см.

Проверка: \[ 2(12+18)=60. \]

6. Параллелограмм и биссектриса

а) В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны. Точка \(M\) лежит на \(BC\), поэтому \[ BM\parallel AD. \] Следовательно, при секущей \(AM\) \[ \angle BMA=\angle DAM. \] По условию \(AB=BM\), значит треугольник \(ABM\) равнобедренный, и углы при основании \(AM\) равны: \[ \angle BAM=\angle BMA. \] Отсюда \[ \angle BAM=\angle DAM. \] То есть луч \(AM\) делит угол \(BAD\) на два равных угла. Значит, \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\).

б) В параллелограмме противоположные стороны равны: \[ AB=CD=8\text{ см}. \] Дано \(AB=BM\), поэтому \[ BM=8\text{ см}. \] Тогда \[ BC=BM+MC=8+6=14\text{ см}. \] Периметр: \[ P=2(AB+BC)=2(8+14)=44\text{ см}. \]

Ответ: б) \(44\) см.