Реши задание на изображении

Ниже — оформление по схеме «Дано — Найти/Доказать — Решение — Ответ».

1. Прямоугольник и диагонали

Дано: прямоугольник; \(O\) — точка пересечения диагоналей; \(\angle MON=64^\circ\).
Найти: \(\angle OMP\).

Решение:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[ OM=ON. \] Значит, треугольник \(MON\) равнобедренный. Тогда \[ \angle OMN=\angle ONM=\frac{180^\circ-64^\circ}{2}=58^\circ. \] Угол прямоугольника \[ \angle NMP=90^\circ. \] Следовательно, \[ \angle OMP=90^\circ-58^\circ=32^\circ. \]

Ответ: \(32^\circ\).

2. Равнобокая трапеция

Дано: равнобокая трапеция; один из углов равен \(70^\circ\).
Найти: остальные углы.

Решение:
В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Если один угол равен \(70^\circ\), то второй угол при том же основании тоже \(70^\circ\).
Соседний с ним угол: \[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ. \] Значит, второй угол при другом основании тоже \(110^\circ\).

Ответ: \(70^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ\).

3. Угол между диагоналями прямоугольника

Дано: прямоугольник \(ABCD\); диагонали пересекаются в точке \(O\); \(\angle ABO=65^\circ\).
Найти: \(\angle BOA\).

Решение:
В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \[ AO=BO. \] Треугольник \(AOB\) равнобедренный, значит \[ \angle BAO=\angle ABO=65^\circ. \] Тогда \[ \angle BOA=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ. \]

Ответ: \(50^\circ\).

Если в вашем варианте в условии написано не \(\angle ABO=65^\circ\), а \(\angle AOB=65^\circ\), то угол \(\angle BOA\) — это тот же самый угол, и ответ будет \(65^\circ\).

4. Сумма углов при меньшем основании трапеции

Дано: равнобокая трапеция; сумма углов при меньшем основании равна \(210^\circ\).
Найти: все углы трапеции.

Решение:
В равнобокой трапеции углы при одном основании равны. Поэтому каждый из этих двух углов: \[ 210^\circ:2=105^\circ. \] Соседний угол с каждым из них: \[ 180^\circ-105^\circ=75^\circ. \]

Ответ: \(75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ\).

5. Стороны параллелограмма

Дано: периметр параллелограмма равен \(60\) см; разность двух соседних сторон равна \(6\) см.
Найти: стороны параллелограмма.

Решение:
Пусть бо́льшая сторона равна \(x\) см, тогда меньшая сторона: \[ x-6\text{ см}. \] Полупериметр параллелограмма равен \(30\) см, поэтому \[ x+(x-6)=30. \] \[ 2x-6=30, \] \[ 2x=36, \] \[ x=18. \] Тогда меньшая сторона: \[ 18-6=12\text{ см}. \]

Проверка: \[ 2(18+12)=60\text{ см}. \]

Ответ: \(18\) см и \(12\) см.

6. Параллелограмм, биссектриса и периметр

Дано: параллелограмм \(ABCD\); точка \(M\) лежит на стороне \(BC\);
\[ AB=BM,\qquad MC=6\text{ см},\qquad AB=8\text{ см}. \]

Доказать: \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\).
Найти: периметр \(ABCD\).

а) Доказательство

Так как \(AB=BM\), треугольник \(ABM\) равнобедренный, поэтому \[ \angle BAM=\angle AMB. \]

В параллелограмме \(AD\parallel BC\). При пересечении этих параллельных прямых секущей \(AM\) углы \(\angle AMB\) и \(\angle MAD\) равны как накрест лежащие: \[ \angle AMB=\angle MAD. \]

Следовательно, \[ \angle BAM=\angle MAD. \] Это значит, что луч \(AM\) делит угол \(BAD\) пополам, то есть \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\).

б) Периметр

Противоположные стороны параллелограмма равны: \[ AB=CD=8\text{ см}. \] По условию \[ AB=BM, \] значит, \[ BM=8\text{ см}. \] Тогда \[ BC=BM+MC=8+6=14\text{ см}. \]

Периметр параллелограмма: \[ P=2(AB+BC)=2(8+14)=2\cdot22=44\text{ см}. \]

Ответ:
а) доказано;
б) \(44\) см.