Реши эти задачи, с дано, решениями,и ответами
Кратко:
- \(32^\circ\);
- \(70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ\);
- \(50^\circ\) (если в условии \(\angle ABO=65^\circ\));
- \(105^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 75^\circ\);
- \(18\) см и \(12\) см;
- \(AM\) — биссектриса, периметр \(44\) см.
1
Дано: \(MNKP\) — прямоугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(\angle MON=64^\circ\).
Найти: \(\angle OMP\).
Решение:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[
OM=OP.
\]
Углы \(\angle MON\) и \(\angle MOP\) смежные:
\[
\angle MOP=180^\circ-64^\circ=116^\circ.
\]
Треугольник \(MOP\) равнобедренный, значит углы при основании \(MP\) равны:
\[
\angle OMP=\frac{180^\circ-116^\circ}{2}=32^\circ.
\]
Ответ: \(32^\circ\).
2
Дано: равнобедренная трапеция, один из углов равен \(70^\circ\).
Найти: все углы трапеции.
Решение:
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Если один угол \(70^\circ\), то при том же основании есть ещё один угол \(70^\circ\).
Соседние углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\):
\[
180^\circ-70^\circ=110^\circ.
\]
Значит, два других угла по \(110^\circ\).
Ответ: \(70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ\).
3
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(\angle ABO=65^\circ\).
Найти: \(\angle BOA\).
Решение:
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому
\[
OA=OB.
\]
Значит, треугольник \(AOB\) равнобедренный, и углы при основании \(AB\) равны:
\[
\angle BAO=\angle ABO=65^\circ.
\]
Тогда
\[
\angle BOA=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ.
\]
Ответ: \(50^\circ\).
Если в задании буквально написано \(\angle AOB=65^\circ\), то \(\angle BOA\) — это тот же самый угол, и тогда ответ был бы \(65^\circ\). Но по смыслу задачи обычно дано \(\angle ABO=65^\circ\).
4
Дано: равнобедренная трапеция; сумма углов при меньшем основании равна \(210^\circ\).
Найти: углы трапеции.
Решение:
Углы при меньшем основании равны, поэтому каждый из них:
\[
210^\circ:2=105^\circ.
\]
Соседние с ними углы при большем основании:
\[
180^\circ-105^\circ=75^\circ.
\]
Таких углов два.
Ответ: \(105^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 75^\circ\).
То есть при меньшем основании — по \(105^\circ\), при большем — по \(75^\circ\).
5
Дано: периметр параллелограмма \(60\) см; одна сторона на \(6\) см меньше другой.
Найти: стороны параллелограмма.
Решение:
Пусть большая сторона равна \(x\) см, тогда меньшая равна \(x-6\) см.
Периметр параллелограмма:
\[
P=2(x+x-6)=60.
\]
\[
2(2x-6)=60,
\]
\[
2x-6=30,
\]
\[
2x=36,
\]
\[
x=18.
\]
Меньшая сторона:
\[
18-6=12 \text{ см}.
\]
Проверка: \[ 2(18+12)=60. \]
Ответ: \(18\) см и \(12\) см; стороны параллелограмма: \(18, 12, 18, 12\) см.
6
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, точка \(M\) лежит на стороне \(BC\), \(AB=BM\).
а) Доказать: \(AM\) — биссектриса \(\angle BAD\).
б) Найти периметр, если \(CD=8\) см, \(CM=6\) см.
а) Доказательство
В треугольнике \(ABM\): \[ AB=BM, \] значит, он равнобедренный, поэтому \[ \angle BAM=\angle AMB. \]
Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \[ AD\parallel BC. \] При секущей \(AM\) углы \(\angle DAM\) и \(\angle AMB\) накрест лежащие, значит, \[ \angle DAM=\angle AMB. \] Следовательно, \[ \angle BAM=\angle DAM. \] То есть луч \(AM\) делит угол \(BAD\) пополам. Значит, \(AM\) — биссектриса \(\angle BAD\).
б) Периметр
В параллелограмме противоположные стороны равны: \[ AB=CD=8 \text{ см}. \] По условию \(AB=BM\), значит, \[ BM=8 \text{ см}. \] Точка \(M\) лежит на \(BC\), поэтому \[ BC=BM+CM=8+6=14 \text{ см}. \] Противоположные стороны равны: \[ AD=BC=14 \text{ см}. \] Периметр: \[ P=2(AB+BC)=2(8+14)=44 \text{ см}. \]
Ответ: а) доказано; б) \(P=44\) см.
