Боковые стороны Ав и СВ трапеции АВСD равны соответственно 8 и 17, а основание Вс =1. Биссектриса угла АDc проходит через середину стороны Ав. Найдите площадь трапеции

Ответ: \(S_{ABCD}=68\).

Пусть \(AD\parallel BC\), \(AD=a\), \(BC=1\), высота трапеции \(h\). Точка \(M\) — середина \(AB\).

1. Так как \(M\) лежит на биссектрисе угла \(ADC\), она равноудалена от сторон этого угла — прямых \(AD\) и \(DC\).
   Расстояние от \(M\) до \(AD\) равно \(h/2\), потому что \(M\) — середина боковой стороны. Значит, \[ d(M,DC)=\frac h2. \]

2. Найдём площадь треугольника \(DMC\) двумя способами.
   С одной стороны, по основанию \(CD=17\): \[ S_{DMC}=\frac12\cdot CD\cdot d(M,DC) =\frac12\cdot17\cdot\frac h2=\frac{17h}{4}. \] С другой стороны, при делении трапеции на треугольники \(ADM\), \(DMC\), \(BCM\): \[ S_{DMC}=\frac{a+1}{4}h. \] Приравниваем: \[ \frac{a+1}{4}h=\frac{17h}{4} \quad\Rightarrow\quad a+1=17 \quad\Rightarrow\quad a=16. \] То есть \(AD=16\).

3. Осталось найти высоту. Пусть \(x\) — проекция \(AB\) на основание \(AD\). Тогда проекция \(CD\) на основание равна \(15-x\). Из прямоугольных треугольников: \[ x^2+h^2=8^2, \] \[ (15-x)^2+h^2=17^2. \] Вычитаем первое из второго: \[ (15-x)^2-x^2=289-64, \] \[ 225-30x=225, \] \[ x=0. \] Значит, \[ h^2=8^2=64,\quad h=8. \]

4. Площадь трапеции: \[ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h =\frac{16+1}{2}\cdot 8 =17\cdot4 =68. \]

Проверка: координаты \(A(0;0)\), \(B(0;8)\), \(C(1;8)\), \(D(16;0)\) дают \(AB=8\), \(CD=\sqrt{15^2+8^2}=17\), \(BC=1\), и середина \(AB\) действительно лежит на биссектрисе угла \(ADC\).