√500-√300
Краткий ответ:
\[
\sqrt{500}-\sqrt{300}=10\sqrt5-10\sqrt3=10(\sqrt5-\sqrt3)
\]
Как решать:
Выдели из каждого числа под корнем полный квадрат: \[ 500=100\cdot5 \] \[ 300=100\cdot3 \]
Используй свойство корня \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\): \[ \sqrt{500}=\sqrt{100\cdot5}=10\sqrt5 \] \[ \sqrt{300}=\sqrt{100\cdot3}=10\sqrt3 \]
Подставь: \[ \sqrt{500}-\sqrt{300}=10\sqrt5-10\sqrt3 \]
Вынеси общий множитель \(10\): \[ 10(\sqrt5-\sqrt3) \]
Дальше упростить нельзя: \(\sqrt5\) и \(\sqrt3\) — разные корни, их нельзя вычитать как подобные слагаемые.
Проверка приблизительно: \[ 10(\sqrt5-\sqrt3)\approx10(2{,}236-1{,}732)=5{,}04 \] И действительно, \[ \sqrt{500}-\sqrt{300}\approx22{,}36-17{,}32=5{,}04 \]
Обсуждение
4 сообщенияПочему 10 осталось?
Потому что \(10\) — общий множитель у обоих слагаемых, и его не убрали, а вынесли за скобки.
Смотри: \[ 10\sqrt5-10\sqrt3 \] Здесь \(10\) умножается и на \(\sqrt5\), и на \(\sqrt3\). По распределительному закону: \[ ab-ac=a(b-c) \] Подставляем \(a=10,\ b=\sqrt5,\ c=\sqrt3\): \[ 10\sqrt5-10\sqrt3=10(\sqrt5-\sqrt3) \]
То есть \(10\) никуда не исчезло — оно теперь стоит перед скобкой и умножает всю разность.
Проверка на числах: \[ 10\cdot7-10\cdot4=70-40=30 \] и \[ 10(7-4)=10\cdot3=30 \] Одинаково. Если бы \(10\) «пропало», получилось бы \(7-4=3\), а это уже другой ответ.
Почему нельзя упростить дальше?
\[
\sqrt5-\sqrt3
\]
нельзя сложить в один корень: это разные корни, как разные буквы. А вот \(10\) — общий множитель, поэтому его и оставляют перед скобкой.
Можно думать так: у нас «10 корней из 5 минус 10 корней из 3», значит, остаётся «10 раз по \((\sqrt5-\sqrt3)\)».
На доске записано:
\[ (3\sqrt5-2)(2\sqrt5-3) \]
Раскрываем скобки: \[ 3\sqrt5\cdot2\sqrt5-3\sqrt5\cdot3-2\cdot2\sqrt5+2\cdot3 \]
Считаем по частям: \[ 3\sqrt5\cdot2\sqrt5=6\cdot5=30 \] \[ -3\sqrt5\cdot3=-9\sqrt5 \] \[ -2\cdot2\sqrt5=-4\sqrt5 \] \[ (-2)\cdot(-3)=6 \]
Складываем: \[ 30-9\sqrt5-4\sqrt5+6=36-13\sqrt5 \]
Ответ: \[ \boxed{36-13\sqrt5} \]
Проверка приблизительно: \[ 36-13\sqrt5\approx36-29{,}07=6{,}93 \] и \[ (3\sqrt5-2)(2\sqrt5-3)\approx4{,}71\cdot1{,}47\approx6{,}93 \] Всё сходится.
