Реши задание на изображении

Краткий ответ

\[ \angle B=180^\circ-58^\circ-30^\circ=92^\circ. \]

Основной вариант для полей:

\[ CK=\frac{8\cdot\sin30^\circ}{\sin121^\circ}\approx4{,}67\text{ см} \]

\[ AD=\frac{8\cdot\sin58^\circ}{\sin107^\circ}\approx7{,}09\text{ см} \]

\[ BE=\frac{4\cdot\sin58^\circ}{\sin92^\circ\cdot\sin76^\circ}\approx3{,}50\text{ см} \]

То есть в поля:
CK: \(8;\ 30;\ 121\)
AD: \(8;\ 58;\ 107\)
BE: \(4;\ 58;\ 92\), причём \(\sin76^\circ\) стоит в знаменателе.

Если в задании принято заменять тупые углы острыми, можно записать равносильно:

\[ \sin121^\circ=\sin59^\circ,\quad \sin107^\circ=\sin73^\circ,\quad \sin92^\circ=\sin88^\circ. \]

Почему так

1. Биссектриса делит угол пополам: \[ \angle ACK=29^\circ,\quad \angle CAD=15^\circ,\quad \angle CBE=46^\circ. \]

2. Для \(CK\) рассматриваем \(\triangle ACK\). Его углы: \[ 30^\circ,\ 29^\circ,\ 121^\circ. \] По теореме синусов: \[ \frac{CK}{\sin30^\circ}=\frac{AC}{\sin121^\circ}. \]

3. Для \(AD\) рассматриваем \(\triangle ACD\): \[ \angle ADC=180^\circ-58^\circ-15^\circ=107^\circ. \] Тогда \[ \frac{AD}{\sin58^\circ}=\frac{AC}{\sin107^\circ}. \]

4. Для \(BE\) сначала находим \(BC\) из \(\triangle ABC\): \[ BC=\frac{8\sin30^\circ}{\sin92^\circ}. \] В \(\triangle BCE\) угол при \(E\) равен \[ 180^\circ-58^\circ-46^\circ=76^\circ. \] Поэтому \[ BE=\frac{BC\sin58^\circ}{\sin76^\circ} =\frac{8\sin30^\circ\sin58^\circ}{\sin92^\circ\sin76^\circ} =\frac{4\sin58^\circ}{\sin92^\circ\sin76^\circ}. \]