Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(x=0{,}2\)
- \(x=4\)
- \(x=3\)
- \(x=3{,}75\)
- \(x=-0{,}4\)
- \(x=3\)
Главный принцип:
если степени с одинаковым основанием равны, то равны их показатели:
\[ a^u=a^v \quad \Rightarrow \quad u=v \]
Поэтому обе части уравнения нужно привести к степени одного и того же основания. Также используем:
\[ \frac1{a^n}=a^{-n} \]
1. \(6^{2-4x}=36^{3x}\)
Так как \(36=6^2\):
\[ 6^{2-4x}=(6^2)^{3x}=6^{6x} \]
\[ 2-4x=6x \]
\[ 2=10x \]
\[ x=0{,}2 \]
2. \(5^{x-7}=\frac1{125}\)
\[ \frac1{125}=\frac1{5^3}=5^{-3} \]
\[ x-7=-3 \]
\[ x=4 \]
3. \(\left(\frac15\right)^{x-6}=125\)
\[ \left(\frac15\right)^{x-6}=5^{-(x-6)}=5^{6-x} \]
\[ 125=5^3 \]
\[ 6-x=3 \]
\[ x=3 \]
4. \(81^{x-4}=\frac13\)
\[ 81=3^4,\qquad \frac13=3^{-1} \]
\[ 3^{4(x-4)}=3^{-1} \]
\[ 4(x-4)=-1 \]
\[ 4x-16=-1 \]
\[ 4x=15 \]
\[ x=\frac{15}{4}=3{,}75 \]
5. \(6^{12{,}5x+2}=\frac1{216}\)
\[ \frac1{216}=\frac1{6^3}=6^{-3} \]
\[ 12{,}5x+2=-3 \]
\[ 12{,}5x=-5 \]
\[ x=-\frac5{12{,}5}=-0{,}4 \]
6. \(5^{x+1}-5^x=500\)
Вынесем \(5^x\) за скобки:
\[ 5^x(5-1)=500 \]
\[ 4\cdot 5^x=500 \]
\[ 5^x=125 \]
\[ 5^x=5^3 \]
\[ x=3 \]
Во всех заданиях главное — привести обе части к одному основанию, после чего приравнять показатели степеней.
