Реши задание на изображении

Question 1

Задача Задача №3762905

А

Аноним

6 дней назад · публичный вопрос

А

Аноним 6 дней назад

Реши задание на изображении

Answer

На фото несколько задач (645–652). Ниже — краткие ответы и объяснение, как они получаются.

Краткие ответы

645. \(AB=18\) см, \(AC=6\) см.
646. \(NE=3{,}5\) см, \(EK=2{,}5\) см.
647. \(CD=14\) см, \(DE=21\) см.
648. Да, треугольники подобны; \(AB:DE=AC:EF=BC:DF=1:3\).
649. \(KM=8{,}4\) см, \(MN=10{,}5\) см, \(KN=14{,}7\) см.
650. Доказано: отношение сходственных сторон равно отношению соответствующих высот.
651. \(4{,}5\) м.
652. \(S_{ABC}=252\) см², \(S_{A_1B_1C_1}=175\) см².

Как решать

645

Биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) на отрезки
\[ CD=4{,}5,\qquad BD=13{,}5. \] По свойству биссектрисы: \[ \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{13{,}5}{4{,}5}=3. \] Значит, \(AB=3AC\).

При этом \[ BC=4{,}5+13{,}5=18. \] Периметр равен \(42\), поэтому \[ AB+AC=42-18=24. \] Пусть \(AC=x\), тогда \(AB=3x\): \[ 3x+x=24 \Rightarrow 4x=24 \Rightarrow x=6. \] Отсюда \[ AC=6,\qquad AB=18. \]

Проверка: \(18+6+18=42\).

646

Пусть сторона вписанного ромба равна \(x\). Тогда \[ MD=MF=x. \] Поэтому \[ ND=MN-MD=7-x, \] \[ KF=MK-MF=5-x. \]

Так как \(DE\parallel MK\), треугольники \(NDE\) и \(NMK\) подобны. Поэтому \[ \frac{NE}{NK}=\frac{ND}{MN}=\frac{7-x}{7}. \] Аналогично \(EF\parallel MN\), значит, треугольники \(KFE\) и \(KNM\) подобны: \[ \frac{EK}{NK}=\frac{KF}{KM}=\frac{5-x}{5}. \]

Но \(E\) лежит на \(NK\), поэтому \[ NE+EK=NK=6. \] Получаем уравнение: \[ 6\cdot \frac{7-x}{7}+6\cdot \frac{5-x}{5}=6. \] Отсюда \[ x=\frac{35}{12}. \] Тогда \[ NE=6\cdot \frac{7-\frac{35}{12}}{7}=3{,}5, \] \[ EK=6\cdot \frac{5-\frac{35}{12}}{5}=2{,}5. \]

Проверка: \(3{,}5+2{,}5=6\) — верно.

647

Так как \[ CF=8,\qquad EF=12, \] то \[ CE=20. \] Пусть \[ CD=a,\qquad DE=b. \] Периметр треугольника \(CDE\) равен \(55\): \[ a+b+20=55 \Rightarrow a+b=35. \]

Пусть сторона ромба равна \(x\).
Из \(MF\parallel DE\) следует подобие треугольников \(CMF\) и \(CDE\): \[ \frac{x}{b}=\frac{CF}{CE}=\frac{8}{20}=\frac25. \] То есть \[ x=\frac25 b. \]

Из \(NF\parallel CD\) следует подобие треугольников \(ENF\) и \(EDC\): \[ \frac{x}{a}=\frac{EF}{EC}=\frac{12}{20}=\frac35. \] То есть \[ x=\frac35 a. \]

Значит, \[ \frac25 b=\frac35 a \Rightarrow 2b=3a. \] Вместе с \(a+b=35\): \[ a=14,\qquad b=21. \]

Ответ: \[ CD=14\text{ см},\qquad DE=21\text{ см}. \]

Проверка: \(14+21+20=55\).

648

Найдём третьи углы.

В треугольнике \(ABC\): \[ \angle C=180^\circ-106^\circ-34^\circ=40^\circ. \]

В треугольнике \(DEF\): \[ \angle D=180^\circ-106^\circ-40^\circ=34^\circ. \]

То есть углы соответствуют так: \[ \angle A=\angle E=106^\circ,\quad \angle B=\angle D=34^\circ,\quad \angle C=\angle F=40^\circ. \]

Теперь проверим отношения соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{DE}=\frac{5{,}2}{15{,}6}=\frac13, \] \[ \frac{AC}{EF}=\frac{4{,}4}{13{,}2}=\frac13, \] \[ \frac{BC}{DF}=\frac{7{,}6}{22{,}8}=\frac13. \]

Все отношения равны, значит, треугольники подобны.

649

Коэффициент подобия: \[ \frac{KM}{AB}=2{,}1. \] Поэтому стороны треугольника \(KMN\) в \(2{,}1\) раза больше соответствующих сторон треугольника \(ABC\): \[ KM=4\cdot 2{,}1=8{,}4, \] \[ MN=5\cdot 2{,}1=10{,}5, \] \[ KN=7\cdot 2{,}1=14{,}7. \]

Ответ: \(8{,}4\) см, \(10{,}5\) см, \(14{,}7\) см.

650

Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, а \(CH\) и \(C_1H_1\) — высоты, проведённые к соответствующим сторонам \(AB\) и \(A_1B_1\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ACH\) и \(A_1C_1H_1\).
У них по прямому углу, а острые углы при вершинах \(A\) и \(A_1\) равны, так как исходные треугольники подобны. Значит, \[ \triangle ACH\sim \triangle A_1C_1H_1. \] Следовательно, \[ \frac{CH}{C_1H_1}=\frac{AC}{A_1C_1}. \]

Но из подобия больших треугольников: \[ \frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}. \] Значит, \[ \frac{CH}{C_1H_1}=\frac{AB}{A_1B_1}. \]

То есть отношение соответствующих высот равно отношению сходственных сторон. Что и требовалось доказать.

651

Площади относятся как \[ \frac{75}{300}=\frac14. \] Значит, коэффициент подобия по длинам равен \[ \sqrt{\frac14}=\frac12. \] Сторона второго треугольника равна \(9\) м, поэтому соответствующая сторона первого: \[ 9\cdot \frac12=4{,}5\text{ м}. \]

Ответ: \(4{,}5\) м.

652

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения сходственных сторон: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} =\left(\frac65\right)^2 =\frac{36}{25}. \] Пусть площади равны \(36x\) и \(25x\). Тогда \[ 36x-25x=77, \] \[ 11x=77,\qquad x=7. \] Значит, \[ S_{ABC}=36\cdot 7=252\text{ см}^2, \] \[ S_{A_1B_1C_1}=25\cdot 7=175\text{ см}^2. \]

Проверка: \(252-175=77\).

Главная идея большинства задач: у подобных фигур все длины умножаются на коэффициент \(k\), а площади — на \(k^2\). В задачах с вписанным ромбом удобно обозначить его сторону за \(x\) и использовать параллельность противоположных сторон ромба: она даёт подобные треугольники.

Question 2

Реши задание на изображении

Answer

На фото несколько задач (645–652). Ниже — краткие ответы и объяснение, как они получаются. ## Краткие ответы - **645.** \(AB=18\) см, \(AC=6\) см. - **646.** \(NE=3{,}5\) см, \(EK=2{,}5\) см. - **647.** \(CD=14\) см, \(DE=21\) см. - **648.** Да, треугольники подобны; \(AB:DE=AC:EF=BC:DF=1:3\). - **649.** \(KM=8{,}4\) см, \(MN=10{,}5\) см, \(KN=14{,}7\) см. - **650.** Доказано: отношение сходственных сторон равно отношению соответствующих высот. - **651.** \(4{,}5\) м. - **652.** \(S_{ABC}=252\) см², \(S_{A_1B_1C_1}=175\) см². ## Как решать ### 645 Биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) на отрезки \[ CD=4{,}5,\qquad BD=13{,}5. \] По свойству биссектрисы: \[ \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{13{,}5}{4{,}5}=3. \] Значит, \(AB=3AC\). При этом \[ BC=4{,}5+13{,}5=18. \] Периметр равен \(42\), поэтому \[ AB+AC=42-18=24. \] Пусть \(AC=x\), тогда \(AB=3x\): \[ 3x+x=24 \Rightarrow 4x=24 \Rightarrow x=6. \] Отсюда \[ AC=6,\qquad AB=18. \] Проверка: \(18+6+18=42\). --- ### 646 Пусть сторона вписанного ромба равна \(x\). Тогда \[ MD=MF=x. \] Поэтому \[ ND=MN-MD=7-x, \] \[ KF=MK-MF=5-x. \] Так как \(DE\parallel MK\), треугольники \(NDE\) и \(NMK\) подобны. Поэтому \[ \frac{NE}{NK}=\frac{ND}{MN}=\frac{7-x}{7}. \] Аналогично \(EF\parallel MN\), значит, треугольники \(KFE\) и \(KNM\) подобны: \[ \frac{EK}{NK}=\frac{KF}{KM}=\frac{5-x}{5}. \] Но \(E\) лежит на \(NK\), поэтому \[ NE+EK=NK=6. \] Получаем уравнение: \[ 6\cdot \frac{7-x}{7}+6\cdot \frac{5-x}{5}=6. \] Отсюда \[ x=\frac{35}{12}. \] Тогда \[ NE=6\cdot \frac{7-\frac{35}{12}}{7}=3{,}5, \] \[ EK=6\cdot \frac{5-\frac{35}{12}}{5}=2{,}5. \] Проверка: \(3{,}5+2{,}5=6\) — верно. --- ### 647 Так как \[ CF=8,\qquad EF=12, \] то \[ CE=20. \] Пусть \[ CD=a,\qquad DE=b. \] Периметр треугольника \(CDE\) равен \(55\): \[ a+b+20=55 \Rightarrow a+b=35. \] Пусть сторона ромба равна \(x\). Из \(MF\parallel DE\) следует подобие треугольников \(CMF\) и \(CDE\): \[ \frac{x}{b}=\frac{CF}{CE}=\frac{8}{20}=\frac25. \] То есть \[ x=\frac25 b. \] Из \(NF\parallel CD\) следует подобие треугольников \(ENF\) и \(EDC\): \[ \frac{x}{a}=\frac{EF}{EC}=\frac{12}{20}=\frac35. \] То есть \[ x=\frac35 a. \] Значит, \[ \frac25 b=\frac35 a \Rightarrow 2b=3a. \] Вместе с \(a+b=35\): \[ a=14,\qquad b=21. \] Ответ: \[ CD=14\text{ см},\qquad DE=21\text{ см}. \] Проверка: \(14+21+20=55\). --- ### 648 Найдём третьи углы. В треугольнике \(ABC\): \[ \angle C=180^\circ-106^\circ-34^\circ=40^\circ. \] В треугольнике \(DEF\): \[ \angle D=180^\circ-106^\circ-40^\circ=34^\circ. \] То есть углы соответствуют так: \[ \angle A=\angle E=106^\circ,\quad \angle B=\angle D=34^\circ,\quad \angle C=\angle F=40^\circ. \] Теперь проверим отношения соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{DE}=\frac{5{,}2}{15{,}6}=\frac13, \] \[ \frac{AC}{EF}=\frac{4{,}4}{13{,}2}=\frac13, \] \[ \frac{BC}{DF}=\frac{7{,}6}{22{,}8}=\frac13. \] Все отношения равны, значит, треугольники подобны. --- ### 649 Коэффициент подобия: \[ \frac{KM}{AB}=2{,}1. \] Поэтому стороны треугольника \(KMN\) в \(2{,}1\) раза больше соответствующих сторон треугольника \(ABC\): \[ KM=4\cdot 2{,}1=8{,}4, \] \[ MN=5\cdot 2{,}1=10{,}5, \] \[ KN=7\cdot 2{,}1=14{,}7. \] Ответ: \(8{,}4\) см, \(10{,}5\) см, \(14{,}7\) см. --- ### 650 Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, а \(CH\) и \(C_1H_1\) — высоты, проведённые к соответствующим сторонам \(AB\) и \(A_1B_1\). Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ACH\) и \(A_1C_1H_1\). У них по прямому углу, а острые углы при вершинах \(A\) и \(A_1\) равны, так как исходные треугольники подобны. Значит, \[ \triangle ACH\sim \triangle A_1C_1H_1. \] Следовательно, \[ \frac{CH}{C_1H_1}=\frac{AC}{A_1C_1}. \] Но из подобия больших треугольников: \[ \frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}. \] Значит, \[ \frac{CH}{C_1H_1}=\frac{AB}{A_1B_1}. \] То есть отношение соответствующих высот равно отношению сходственных сторон. Что и требовалось доказать. --- ### 651 Площади относятся как \[ \frac{75}{300}=\frac14. \] Значит, коэффициент подобия по длинам равен \[ \sqrt{\frac14}=\frac12. \] Сторона второго треугольника равна \(9\) м, поэтому соответствующая сторона первого: \[ 9\cdot \frac12=4{,}5\text{ м}. \] Ответ: \(4{,}5\) м. --- ### 652 Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения сходственных сторон: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} =\left(\frac65\right)^2 =\frac{36}{25}. \] Пусть площади равны \(36x\) и \(25x\). Тогда \[ 36x-25x=77, \] \[ 11x=77,\qquad x=7. \] Значит, \[ S_{ABC}=36\cdot 7=252\text{ см}^2, \] \[ S_{A_1B_1C_1}=25\cdot 7=175\text{ см}^2. \] Проверка: \(252-175=77\). --- Главная идея большинства задач: у подобных фигур все **длины** умножаются на коэффициент \(k\), а **площади** — на \(k^2\). В задачах с вписанным ромбом удобно обозначить его сторону за \(x\) и использовать параллельность противоположных сторон ромба: она даёт подобные треугольники.