Реши задачу так как там сказано
Читаю условие так: нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями
\[
y=8+x-x^2,\qquad y=0.
\]
Краткий ответ:
\[
S=\frac{11\sqrt{33}}{2}\ \text{кв. ед.}\approx 31{,}6.
\]
Как решать:
Найдём точки пересечения параболы с осью \(Ox\), то есть решим: \[ 8+x-x^2=0. \] Умножим на \(-1\): \[ x^2-x-8=0. \] Дискриминант: \[ D=1+32=33. \] Корни: \[ x_1=\frac{1-\sqrt{33}}{2},\qquad x_2=\frac{1+\sqrt{33}}{2}. \]
Парабола \(y=8+x-x^2\) ветвями вниз, поэтому между корнями она лежит выше оси \(Ox\). Значит, площадь: \[ S=\int_{x_1}^{x_2}(8+x-x^2)\,dx. \]
Находим первообразную: \[ 8x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}. \] Подставляем пределы \(x_1\) и \(x_2\): \[ S=\frac{11\sqrt{33}}{2}. \]
Проверка:
Вершина параболы находится при \(x=\frac12\):
\[
y=8+\frac12-\frac14=\frac{33}{4}.
\]
Ширина фигуры:
\[
x_2-x_1=\sqrt{33}.
\]
Для параболического сегмента:
\[
S=\frac23\cdot \text{ширина}\cdot \text{высота}
=\frac23\cdot \sqrt{33}\cdot \frac{33}{4}
=\frac{11\sqrt{33}}{2}.
\]
Совпало.
Обсуждение
15 сообщенийВерно
Да, на фото всё решено верно:
- уравнение \(8+x-x^2=0\) и корни \(x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{33}}2\) найдены правильно;
- пределы интегрирования выбраны верно;
- первообразная \(8x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\) правильная;
- ответ \(S=\frac{11\sqrt{33}}2\) совпадает;
- проверка через вершину параболы и формулу \(S=\frac23\cdot \sqrt{33}\cdot\frac{33}{4}\) тоже верная.
Небольшое замечание только по оформлению: в строке с первообразной лучше явно написать \[ S=\left[8x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{x_1}^{x_2}, \] но на сам ответ это не влияет. Работа зачётная.
Так всё ок. И что написат на ответ:
В конце работы напиши:
Ответ:
\[
\boxed{S=\frac{11\sqrt{33}}{2}\ \text{кв. ед.}\approx 31{,}6\ \text{кв. ед.}}
\]
Можно и словами:
Площадь искомой фигуры равна \(\dfrac{11\sqrt{33}}{2}\) кв. ед.
На тчк
Пиши так:
Ответ: \(S=\dfrac{11\sqrt{33}}{2}\) кв. ед. (примерно \(31{,}6\) кв. ед.).
В конце поставь точку.
Нет на таджикском напеши ответ
Ҷавоб:
\[ \boxed{S=\frac{11\sqrt{33}}{2}\ \text{воҳиди квадратӣ}\approx 31{,}6\ \text{воҳиди квадратӣ}} \]
Ба таври дигар: масоҳати шакл \(\dfrac{11\sqrt{33}}{2}\) воҳиди квадратиро ташкил медиҳад.
Y=2+x-x²; Y=0 Масоҳати фигураи бо хатҳои боло маҳдудро ёбед
Ҳал:
Хатҳои \(y=2+x-x^2\) ва \(y=0\) якҷо фигураро месозанд. Аввал нуқтаҳои буришро меёбем:
\[ 2+x-x^2=0 \] \[ x^2-x-2=0 \] \[ x_1=-1,\qquad x_2=2. \]
Парабола дар байни \(-1\) ва \(2\) болои меҳвари \(Ox\) аст, бинобар ин:
\[ S=\int_{-1}^{2}(2+x-x^2)\,dx \]
\[ S=\left[2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \]
\[ S=\left(4+2-\frac{8}{3}\right) -\left(-2+\frac12+\frac13\right) \]
\[ S=\frac{10}{3}+\frac{7}{6} =\frac{27}{6} =\frac92. \]
Ҷавоб: \[ \boxed{S=\frac92\ \text{воҳиди квадратӣ}=4{,}5\ \text{воҳиди квадратӣ}} \]
Ба таври дигар: масоҳати фигура \(4{,}5\) воҳиди квадратӣ аст.
Интегралро ҳисоб кунед
\[ \int_0^1 x^3\,dx \]
Истифода мебарем: \[ \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1. \]
Пас: \[ \int_0^1 x^3\,dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 =\frac{1^4}{4}-\frac{0^4}{4} =\frac14. \]
Ҷавоб: \[ \boxed{\frac14=0{,}25} \]
Дар расм интеграли муайяни зерин оварда шудааст:
\[ \int_0^2 x^3\,dx \]
Ҳал:
\[ \int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C \]
Аз ин рӯ:
\[ \int_0^2 x^3\,dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 =\frac{2^4}{4}-\frac{0^4}{4} =\frac{16}{4}-0 =4 \]
Ҷавоб:
\[ \boxed{4} \]
Яъне қимати интеграл ба 4 баробар аст.
Қимати х ро ёбед
