260 б
Краткий ответ
Для 260 б: \[ y=\frac{18-12x}{x^2-3x}-\frac{6}{3-x} \]
Область определения: \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty) \]
После упрощения:
\[
y=-\frac{6}{x}
\]
Но исходная функция не существует при \(x=3\), поэтому на графике гиперболы \(y=-\dfrac6x\) точка
\[
(3;-2)
\]
выколота.
Как это получается
1. Находим ограничения по знаменателям
\[ x^2-3x=x(x-3) \] Значит, \(x\neq 0\) и \(x\neq 3\).
Кроме того, \(3-x\neq0\), то есть \(x\neq3\).
Итого: \[ x\neq0,\qquad x\neq3 \]
2. Упрощаем выражение
Так как \[ -\frac{6}{3-x}=+\frac{6}{x-3}, \] получаем: \[ y=\frac{18-12x}{x(x-3)}+\frac{6}{x-3} \]
Приводим к общему знаменателю: \[ y=\frac{18-12x+6x}{x(x-3)} \] \[ y=\frac{18-6x}{x(x-3)} \] \[ y=\frac{-6(x-3)}{x(x-3)} \]
Сокращаем на \(x-3\), но помним, что \(x\neq3\): \[ y=-\frac{6}{x} \]
3. Как строить график
Это гипербола \(y=-\dfrac6x\):
- ветвь при \(x>0\) расположена ниже оси \(Ox\);
- ветвь при \(x<0\) расположена выше оси \(Ox\);
- асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\);
- точка \((3;-2)\) выколота, потому что при \(x=3\) исходная функция не определена.
Несколько точек для построения:
\[ \begin{array}{c|cccccc} x & -6 & -3 & -2 & 1 & 2 & 6\\ \hline y & 1 & 2 & 3 & -6 & -3 & -1 \end{array} \]
Проверка: при \(x=2\): \[ \frac{18-24}{4-6}-\frac6{3-2}=\frac{-6}{-2}-6=3-6=-3, \] и по формуле \(-\frac62=-3\). Всё сходится.
