Реши 2.86
Краткий ответ:
а) 75; б) 44; в) 4; г) 17.
Принцип.
НОД — наибольшее число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка. Чтобы его найти:
- раскладываем каждое число на простые множители;
- выбираем только те простые множители, которые есть в разложении каждого числа;
- каждый общий множитель берём в наименьшей степени, с которой он встречается;
- перемножаем выбранные множители.
Почему берём наименьшую степень: если взять больше, то число, где этого множителя меньше, на такой НОД не разделится. Например, в пункте в) двойка входит в 80 в 4-й степени, в 140 — во 2-й, в 56 — в 3-й. Больше \(2^2\) взять нельзя, иначе 140 не разделится. Если общих простых множителей нет, НОД равен 1.
Решение по пунктам.
а) \(975=3\cdot5^2\cdot13\), \(750=2\cdot3\cdot5^3\).
Общие множители — \(3\) и \(5\); минимальная степень пятёрки — вторая.
НОД(975, 750) = \(3\cdot5^2=75\).
Проверка: \(975:75=13\), \(750:75=10\).
б) \(572=2^2\cdot11\cdot13\), \(440=2^3\cdot5\cdot11\).
Общие множители — \(2\) и \(11\); минимальная степень двойки — вторая.
НОД(572, 440) = \(2^2\cdot11=44\).
Проверка: \(572:44=13\), \(440:44=10\).
в) \(80=2^4\cdot5\), \(140=2^2\cdot5\cdot7\), \(56=2^3\cdot7\).
Общий для всех трёх чисел множитель только \(2\), его минимальная степень — \(2^2\). Пятёрки нет в 56, семёрки нет в 80, поэтому их не берём.
НОД(80, 140, 56) = \(2^2=4\).
Проверка: \(80:4=20\), \(140:4=35\), \(56:4=14\).
г) \(170=2\cdot5\cdot17\), \(306=2\cdot3^2\cdot17\), \(255=3\cdot5\cdot17\).
Общий для всех множитель только \(17\): двойки нет в 255, тройки нет в 170, пятёрки нет в 306.
НОД(170, 306, 255) = \(17\).
Проверка: \(170:17=10\), \(306:17=18\), \(255:17=15\).
Вывод. Во всех пунктах частные целые, а других общих простых множителей в разложениях нет — значит, НОД найден верно. Для похожего задания действуй так же: разложи числа на простые, оставь общие множители в наименьших степенях и перемножь.
