Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3.$$

Как это получить (принцип)

Шаг 1. Ищем «хитрые» числа. Уравнение вида $x^2-px+q=0$ раскладывается на множители, если найдутся два числа, у которых:

• произведение равно $q$ (свободному члену);
• сумма равна $p$ (числу перед $x$, взятому без минуса).

У нас $q=6$, $p=5$. Перебираем пары множителей числа 6:

Подошли 2 и 3.

Шаг 2. Записываем разложение.

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Проверить это легко раскрытием скобок: $x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$ — всё сходится.

Шаг 3. Используем главное правило. Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$(x-2)(x-3)=0 ;\Rightarrow; x-2=0 \ \text{или}\ x-3=0.$$

Отсюда $x=2$ или $x=3$.

Проверка

• $x=2$: $4-10+6=0$ ✓
• $x=3$: $9-15+6=0$ ✓

Что запомнить

1. Смотри на свободный член и на коэффициент перед $x$: ищи два числа «произведение = $q$, сумма = $p$».
2. Замени трёхчлен произведением скобок $(x-a)(x-b)$.
3. Каждую скобку приравняй к нулю — получаешь два корня.
4. Всегда подставляй корни обратно: это ловит ошибку за 10 секунд.

Тот же приём работает и для $x^2-7x+12=0$ (числа 3 и 4), и для $x^2+5x+6=0$ (числа 2 и 3, но со знаком «+» в скобках: $(x+2)(x+3)=0$).