Реши задание на изображении
На фото обведены уравнения н) и о). Их ответы:
- н) \(x^4-4x^2+1=0\)
\[ x=\pm\sqrt{2+\sqrt3}\quad\text{или}\quad x=\pm\sqrt{2-\sqrt3}. \] - о) \(x^4-2x^2+1=0\)
\[ x=\pm1. \]
Как решать
Это биквадратные уравнения. Общий приём:
\[ ax^4+bx^2+c=0 \]
делаем замену
\[ u=x^2,\qquad u\ge0. \]
Получаем квадратное уравнение
\[ au^2+bu+c=0. \]
После нахождения \(u\):
- если \(u>0\), то \(x=\pm\sqrt u\);
- если \(u=0\), то \(x=0\);
- если \(u<0\), то действительных корней нет.
н) \(x^4-4x^2+1=0\)
Пусть \(u=x^2\ge0\):
\[ u^2-4u+1=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot1=12. \]
\[ u=\frac{4\pm\sqrt{12}}2=\frac{4\pm2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3. \]
Оба числа положительны, потому что \(2-\sqrt3>0\). Значит,
\[ x^2=2+\sqrt3 \quad\text{или}\quad x^2=2-\sqrt3. \]
Отсюда:
\[ x=\pm\sqrt{2+\sqrt3},\qquad x=\pm\sqrt{2-\sqrt3}. \]
Можно записать и так:
\[ x=\pm\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2},\qquad x=\pm\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}. \]
о) \(x^4-2x^2+1=0\)
Замена \(u=x^2\):
\[ u^2-2u+1=0. \]
Это полный квадрат:
\[ (u-1)^2=0, \]
поэтому
\[ u=1. \]
Возвращаемся:
\[ x^2=1, \]
\[ x=\pm1. \]
Проверка: при \(x=1\) и \(x=-1\):
\[ 1-2+1=0. \]
Остальные ответы на фото
| Пункт | Корни |
|---|---|
| г) | \(x=\pm2,\ \pm\dfrac{\sqrt6}{2}\) |
| д) | \(x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2},\ \pm\dfrac{\sqrt3}{3}\) |
| е) | \(y=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3},\ \pm\dfrac{\sqrt3}{2}\) |
| ё) | \(x=\pm4,\ \pm2\) |
| ж) | \(x=\pm3,\ \pm2\) |
| к) | \(t=\pm3,\ \pm1\) |
| л) | \(x=\pm2,\ \pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) |
| м) | действительных корней нет |
