Реши задание на изображении

Пункты г) и к) не решаю. Подпись к) на фото отношу к уравнению
\(2x^4-13x^2+20=0\).

Краткие ответы

д) \(6x^4-5x^2+1=0\)
\[ x=\pm\frac1{\sqrt2},\quad x=\pm\frac1{\sqrt3} \]

е) \(12y^4-25y^2+12=0\)
\[ y=\pm\frac{2}{\sqrt3},\quad y=\pm\frac{\sqrt3}{2} \] Можно записать \( \pm\frac{2\sqrt3}{3}\).

ж) \(x^4-20x^2+64=0\)
\[ x=\pm2,\quad x=\pm4 \]

з) \(x^4-13x^2+36=0\)
\[ x=\pm2,\quad x=\pm3 \]

и) \(t^4-10t^2+9=0\)
\[ t=\pm1,\quad t=\pm3 \]

л) \(5y^4-15y^2+42=0\)
\[ \text{действительных корней нет} \]

м) \(x^4-4x^2+1=0\)
\[ x=\pm\sqrt{2+\sqrt3},\quad x=\pm\sqrt{2-\sqrt3} \] Или: \(\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2},\; x=\pm\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\).

н) \(x^4-2x^2+1=0\)
\[ x=\pm1 \]

---

Как это решается

Все уравнения — биквадратные. Общий приём:

\[ x^4=(x^2)^2 \]

Поэтому делаем замену:

\[ u=x^2,\quad u\ge0 \]

Получаем обычное квадратное уравнение относительно \(u\). Его корни должны быть неотрицательными, потому что \(u=x^2\). Затем:

\[ x=\pm\sqrt u \]

Пример — пункт ж)

\[ x^4-20x^2+64=0 \]

Пусть \(u=x^2\). Тогда:

\[ u^2-20u+64=0 \]

\[ D=400-256=144 \]

\[ u=\frac{20\pm12}{2} \]

\[ u=16 \quad\text{или}\quad u=4 \]

Оба корня неотрицательны, значит:

\[ x=\pm\sqrt{16}=\pm4 \]

\[ x=\pm\sqrt4=\pm2 \]

Ответ: \(x=\pm2,\ \pm4\).

Почему в пункте л) нет корней

\[ 5y^4-15y^2+42=0 \]

Замена \(v=y^2\ge0\):

\[ 5v^2-15v+42=0 \]

\[ D=(-15)^2-4\cdot5\cdot42=225-840=-615<0 \]

Дискриминант отрицательный, значит действительных корней нет.

Проверка идеи

Для каждого неотрицательного \(u\) в ответе появляются два значения \(x=\pm\sqrt u\). Поэтому в большинстве пунктов по четыре корня, а в пункте н) корень \(u=1\) один, но \(x\) два: \(x=\pm1\).