Объясни как решать уравнения схемой горнера

Question 1

Задача Задача №3762985

А

Аноним

5 дней назад · публичный вопрос

А

Аноним 5 дней назад

Объясни как решать уравнения схемой горнера

Answer

Кратко

Схема Горнера — это компактная таблица, которая одновременно считает значение многочлена $P(a)$ и делит его на $(x-a)$. Для уравнений это даёт главное: если $P(a)=0$, то $a$ — корень, и

$$P(x)=(x-a)\cdot Q(x),$$

где $Q$ — многочлен на степень ниже. Дальше решаем уже более простое уравнение.

В основе — теорема Безу: остаток от деления $P(x)$ на $(x-a)$ равен $P(a)$.

Шаги

Привести уравнение к виду $P(x)=0$.
Выписать делители свободного члена — это кандидаты в корни (если старший коэффициент не 1, берут $p/q$, где $p$ делит свободный член, а $q$ — старший коэффициент).
Записать коэффициенты $P(x)$ по убыванию степеней, не пропуская нули.
Заполнить таблицу: первый коэффициент сносим вниз, каждое следующее число = (предыдущее снизу)$\cdot a$ + (коэффициент сверху).
Последнее число — это $P(a)$. Если оно $0$, то $a$ — корень, а остальные числа нижней строки — коэффициенты частного $Q(x)$.
Решить $Q(x)=0$ (обычно это уже квадратное уравнение) и при необходимости повторить схему.

Пример

$$x^3-6x^2+11x-6=0$$

Коэффициенты: $1,\ -6,\ 11,\ -6$. Проверяем $a=1$:

	$1$	$-6$	$11$	$-6$
$a=1$	$1$	$-5$	$6$	$\mathbf{0}$

Как считались клетки:

$1$ сносим;
$1\cdot 1+(-6)=-5$;
$(-5)\cdot 1+11=6$;
$6\cdot 1+(-6)=0$ — остаток, значит $x=1$ корень.

Частное: $x^2-5x+6$. Решаем: $x=2$ и $x=3$ (Виет: сумма $5$, произведение $6$).

Ответ: $x=1,\ 2,\ 3$.

Проверка

$$(x-1)(x^2-5x+6)=x^3-5x^2+6x-x^2+5x-6=x^3-6x^2+11x-6 \checkmark$$

Ещё проверка: подставь корни в исходное уравнение — должно получиться $0$.

Что важно не забыть

Нули пропускать нельзя: у $x^3-3x+2$ коэффициенты $1,\ 0,\ -3,\ 2$.
Если после деления свободный член снова обнулился, корень кратный — схему применяют к частному ещё раз.
Схема ищет только рациональные корни. Если ни один кандидат не подошёл, у уравнения с целыми коэффициентами нет рациональных корней — нужны другие методы (график, оценка знаков), но действительные корни при этом могут существовать.
Схема Горнера удобна и просто для вычисления $P(a)$ — это быстро и без возведения в степени.

Question 2

объясни как решать уравнения схемой горнера

Answer

## Кратко Схема Горнера — это компактная таблица, которая одновременно **считает значение многочлена** $P(a)$ и **делит его на** $(x-a)$. Для уравнений это даёт главное: если $P(a)=0$, то $a$ — корень, и $$P(x)=(x-a)\cdot Q(x),$$ где $Q$ — многочлен на степень ниже. Дальше решаем уже более простое уравнение. В основе — теорема Безу: остаток от деления $P(x)$ на $(x-a)$ равен $P(a)$. ## Шаги 1. Привести уравнение к виду $P(x)=0$. 2. Выписать **делители свободного члена** — это кандидаты в корни (если старший коэффициент не 1, берут $p/q$, где $p$ делит свободный член, а $q$ — старший коэффициент). 3. Записать коэффициенты $P(x)$ **по убыванию степеней**, не пропуская нули. 4. Заполнить таблицу: первый коэффициент сносим вниз, каждое следующее число = (предыдущее снизу)$\cdot a$ + (коэффициент сверху). 5. Последнее число — это $P(a)$. Если оно $0$, то $a$ — корень, а остальные числа нижней строки — коэффициенты частного $Q(x)$. 6. Решить $Q(x)=0$ (обычно это уже квадратное уравнение) и при необходимости повторить схему. ## Пример $$x^3-6x^2+11x-6=0$$ Коэффициенты: $1,\ -6,\ 11,\ -6$. Проверяем $a=1$: | | $1$ | $-6$ | $11$ | $-6$ | |---|---|---|---|---| | $a=1$ | $1$ | $-5$ | $6$ | $\mathbf{0}$ | Как считались клетки: - $1$ сносим; - $1\cdot 1+(-6)=-5$; - $(-5)\cdot 1+11=6$; - $6\cdot 1+(-6)=0$ — остаток, значит $x=1$ корень. Частное: $x^2-5x+6$. Решаем: $x=2$ и $x=3$ (Виет: сумма $5$, произведение $6$). **Ответ: $x=1,\ 2,\ 3$.** ## Проверка $$(x-1)(x^2-5x+6)=x^3-5x^2+6x-x^2+5x-6=x^3-6x^2+11x-6 \checkmark$$ Ещё проверка: подставь корни в исходное уравнение — должно получиться $0$. ## Что важно не забыть - **Нули пропускать нельзя**: у $x^3-3x+2$ коэффициенты $1,\ 0,\ -3,\ 2$. - Если после деления свободный член снова обнулился, корень **кратный** — схему применяют к частному ещё раз. - Схема ищет только **рациональные** корни. Если ни один кандидат не подошёл, у уравнения с целыми коэффициентами нет рациональных корней — нужны другие методы (график, оценка знаков), но действительные корни при этом могут существовать. - Схема Горнера удобна и просто для **вычисления** $P(a)$ — это быстро и без возведения в степени.