Задача Задача №3762994
А
А
Реши задание на изображении
Кратко: на фото кружками выделены два уравнения. Они решаются заменой \(x^2=u\):
\[ x^4-4x^2+1=0,\qquad x^4-2x^2+1=0. \]
1) \(x^4-4x^2+1=0\)
Пусть \(u=x^2\), причём \(u\ge 0\). Тогда:
\[ u^2-4u+1=0 \]
\[ D=16-4=12,\qquad u=\frac{4\pm\sqrt{12}}2=2\pm\sqrt3 \]
Оба числа положительны, значит подходят. Возвращаемся к \(x\):
\[ \boxed{x=\pm\sqrt{2+\sqrt3},\ \pm\sqrt{2-\sqrt3}} \]
2) \(x^4-2x^2+1=0\)
\[ x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2 \]
\[ (x^2-1)^2=0 \]
\[ x^2=1 \]
\[ \boxed{x=\pm1} \]
Принцип для похожих уравнений
Биквадратное уравнение имеет вид
\[ ax^4+bx^2+c=0. \]
- Заменяем \(x^2=u\), где \(u\ge0\).
- Решаем квадратное уравнение относительно \(u\).
- Оставляем только \(u\ge0\).
- Из \(x^2=u\) получаем \(x=\pm\sqrt u\).
Остальные уравнения с фото
| Уравнение | Действительные корни |
|---|---|
| \(2x^4-11x^2+12=0\) | \(x=\pm2,\ \pm\frac{\sqrt6}{2}\) |
| \(6x^4-5x^2+1=0\) | \(x=\pm\frac{\sqrt2}{2},\ \pm\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(12y^4-25y^2+12=0\) | \(y=\pm\frac{\sqrt3}{2},\ \pm\frac{2\sqrt3}{3}\) |
| \(x^4-20x^2+64=0\) | \(x=\pm2,\ \pm4\) |
| \(x^4-13x^2+36=0\) | \(x=\pm2,\ \pm3\) |
| \(t^4-10t^2+9=0\) | \(t=\pm1,\ \pm3\) |
| \(2x^4-13x^2+20=0\) | \(x=\pm2,\ \pm\frac{\sqrt{10}}2\) |
| \(5y^4-15y^2+42=0\) | нет действительных корней |
