Реши номер12
Кратко — только действительные корни:
а) \(x=-\sqrt5,\ -1,\ 1,\ \sqrt5\)
б) \(x=-\sqrt3,\ 1,\ \sqrt3\)
в) \(x=-2,\ -1,\ 1,\ 2\)
г) \(x=1,\ \sqrt[3]{2}\)
д) \(x=-1\)
е) \(x=-3,\ -\frac13,\ \frac12,\ 2\)
Как решать
Главные приёмы здесь: группировка, замена переменной и для последнего уравнения — симметрия коэффициентов.
а)
\[
x^5+x^4-6x^3-6x^2+5x+5
=(x+1)(x^4-6x^2+5)
\]
Далее:
\[
x^4-6x^2+5=(x^2-1)(x^2-5)
\]
Значит,
\[
(x+1)^2(x-1)(x^2-5)=0
\]
Корни: \(x=-1,\ 1,\ \pm\sqrt5\). Корень \(-1\) имеет кратность 2, но в ответе как решение указывается один раз.
б)
\[
x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3
=(x-1)(x^4-2x^2-3)
\]
\[
x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1)
\]
Значит:
\[
(x-1)(x^2-3)(x^2+1)=0
\]
Так как \(x^2+1\neq0\), получаем:
\[
x=1,\quad x=\pm\sqrt3
\]
в)
Замена:
\[
t=x^4,\quad t\ge0
\]
\[
t^2-17t+16=0
\]
\[
(t-1)(t-16)=0
\]
Значит:
\[
x^4=1 \Rightarrow x=\pm1
\]
\[
x^4=16 \Rightarrow x=\pm2
\]
Ответ: \(-2,-1,1,2\).
г)
Замена:
\[
t=x^3
\]
\[
t^2-3t+2=0
\]
\[
(t-1)(t-2)=0
\]
Значит:
\[
x^3=1 \Rightarrow x=1
\]
\[
x^3=2 \Rightarrow x=\sqrt[3]{2}
\]
д)
Группируем:
\[
x^3+1+2x^2+2x=0
\]
\[
(x+1)(x^2-x+1)+2x(x+1)=0
\]
\[
(x+1)(x^2+x+1)=0
\]
У уравнения \(x^2+x+1=0\) дискриминант:
\[
D=1-4=-3<0
\]
поэтому действительных корней нет. Остаётся:
\[
x=-1
\]
е)
Коэффициенты симметричны:
\[
6,\ 5,\ -38,\ 5,\ 6
\]
При \(x=0\) корня нет, поэтому делим на \(x^2\):
\[
6\left(x^2+\frac1{x^2}\right)
+5\left(x+\frac1x\right)-38=0
\]
Замена:
\[
t=x+\frac1x
\]
тогда:
\[
x^2+\frac1{x^2}=t^2-2
\]
Получаем:
\[
6(t^2-2)+5t-38=0
\]
\[
6t^2+5t-50=0
\]
\[
t=\frac52 \quad \text{или} \quad t=-\frac{10}{3}
\]
Если \(t=\frac52\): \[ x+\frac1x=\frac52 \] \[ 2x^2-5x+2=0 \] \[ x=2,\quad x=\frac12 \]
Если \(t=-\frac{10}{3}\): \[ x+\frac1x=-\frac{10}{3} \] \[ 3x^2+10x+3=0 \] \[ x=-3,\quad x=-\frac13 \]
Проверка через разложение: \[ 6x^4+5x^3-38x^2+5x+6 =(x-2)(2x-1)(3x+1)(x+3) \] что даёт те же корни.
