доказать что эти треугольники равны по признаку
Коротко: если речь о рис. 80, где дано \(AO=BO\) и \(\angle DAC=\angle DBC\), то доказываем равенство треугольников \(AOC\) и \(BOD\) по второму признаку.
Доказательство
Рассмотрим \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\).
По условию
\[ AO=BO. \]Точка \(O\) лежит на прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому
\[ \angle OAC=\angle DAC,\qquad \angle OBD=\angle DBC. \] А так как \(\angle DAC=\angle DBC\), то
\[ \angle OAC=\angle OBD. \]Углы при точке \(O\) вертикальные:
\[ \angle AOC=\angle BOD. \]
Значит, в треугольниках \(AOC\) и \(BOD\) равны сторона и два прилежащих к ней угла. По второму признаку: \[ \triangle AOC=\triangle BOD. \]
Что следует из равенства
Соответственные элементы равны: \[ AC=BD,\qquad OC=OD,\qquad \angle ACO=\angle BDO. \]
Так как \(OC=OD\), треугольник \(COD\) равнобедренный с основанием \(CD\). Поэтому \[ \angle OCD=\angle ODC. \]
Теперь: \[ \angle ACD=\angle ACO+\angle OCD, \] \[ \angle BDC=\angle BDO+\angle ODC. \] Слагаемые попарно равны, значит, \[ \angle ACD=\angle BDC. \]
То есть \[ \boxed{\angle C=\angle D,\quad AC=BD.} \]
Главное: в доказательстве мы нашли сторону и два прилежащих к ней угла — это и есть второй признак равенства треугольников.
Если ты имел в виду рис. 79, то там \(\triangle TCO=\triangle PBO\) тоже по второму признаку: \(CO=OB\), прямые углы при \(C\) и \(B\), вертикальные углы при \(O\). Отсюда \(OT=OP\) и \(\angle T=\angle P\).
Обсуждение
4 сообщениядокажи что они равны
докажи что они равны
На твоём рисунке, судя по всему, перепутаны \(C\) и \(O\): обычно \(O\) — точка пересечения диагоналей, а \(C\) — нижняя вершина. Иначе равенство треугольников \(BDA\) и \(BCA\) не получится.
Докажем, что
\[
\triangle BCA=\triangle BDA
\]
при условиях
\[
AO=BO,\qquad \angle BCA=\angle BDA.
\]
Доказательство
Так как \(AO=BO\), треугольник \(AOB\) равнобедренный, значит: \[ \angle OAB=\angle ABO. \]
Точка \(O\) лежит на \(AC\) и \(BD\), поэтому \[ \angle OAB=\angle CAB,\qquad \angle ABO=\angle DBA. \] Следовательно, \[ \angle CAB=\angle DBA. \tag{1} \]
По условию \[ \angle BCA=\angle BDA. \tag{2} \]
В треугольниках \(BCA\) и \(BDA\) суммы углов равны \(180^\circ\). Из равенств (1) и (2) получаем, что третьи углы тоже равны: \[ \angle CBA=\angle DAB. \tag{3} \]
Теперь у треугольников \(BCA\) и \(BDA\):
- \(BA\) — общая сторона;
- \(\angle CAB=\angle DBA\);
- \(\angle CBA=\angle DAB\).
То есть сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого.
По второму признаку равенства треугольников: \[ \boxed{\triangle BCA=\triangle BDA} \]
Если же внизу ты имел в виду другую пару — \(\triangle ABC\) и \(\triangle DOC\), то там нужны дополнительные данные. Если, например, дано, что \(C\) — середина \(AO\) и \(BD\), то эти треугольники равны по первому признаку: \(AC=CO\), \(BC=CD\), а углы при \(C\) вертикальные.
Судя по рисунку и записи, нужно доказать: \[ \triangle BDA=\triangle BCA. \]
Доказательство
Дано \(AO=BO\), значит треугольник \(AOB\) равнобедренный. Поэтому его углы при основании равны: \[ \angle OAB=\angle OBA. \]
По рисунку \(C\) лежит на \(AO\), а \(D\) — на \(BO\), поэтому \[ \angle CAB=\angle OAB,\qquad \angle DBA=\angle OBA. \] Следовательно, \[ \angle CAB=\angle DBA. \]
По условию: \[ \angle BCA=\angle BDA. \]
Тогда равны и третьи углы треугольников: \[ \angle CBA=\angle DAB \] (так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\)).
Сторона \(AB\) — общая.
Значит, в треугольниках \(BCA\) и \(BDA\) равны сторона и два прилежащих к ней угла. По второму признаку равенства треугольников: \[ \boxed{\triangle BCA=\triangle BDA.} \]
Отсюда, в частности, \[ BC=AD,\qquad CA=BD. \]
Если дальше нужно доказать, что \(\triangle COD\) равнобедренный, то: \[ OC=AO-AC,\qquad OD=BO-BD. \] Так как \(AO=BO\) и \(AC=BD\), получаем \(OC=OD\), то есть \(\triangle COD\) равнобедренный.
