Реши задание на изображении

Краткий ответ

а) \(y=\dfrac{4}{x-3}\) — гипербола \(y=\dfrac4x\), сдвинутая вправо на 3.
Асимптоты: \(x=3\), \(y=0\).

б) \(y=\dfrac4x+2\) — гипербола \(y=\dfrac4x\), сдвинутая вверх на 2.
Асимптоты: \(x=0\), \(y=2\).

а) \(y=\dfrac{4}{x-3}\)

Базовая функция — \(y=\dfrac4x\). Замена \(x\) на \(x-3\) сдвигает график вправо на 3.

Область определения: \(x\neq 3\).
Вертикальная асимптота: \(x=3\).
Горизонтальная асимптота: \(y=0\).

Характерные точки:

\[ \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 7\\ \hline y & -\frac43 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 \end{array} \]

Ветви гиперболы:

• при \(x>3\) график выше оси \(Ox\);
• при \(x<3\) график ниже оси \(Ox\).

Отмечаем точки и проводим две ветви, приближающиеся к прямым \(x=3\) и \(y=0\).

б) \(y=\dfrac4x+2\)

Это график \(y=\dfrac4x\), поднятый на 2 вверх.

Область определения: \(x\neq 0\).
Вертикальная асимптота: \(x=0\).
Горизонтальная асимптота: \(y=2\).

Характерные точки:

\[ \begin{array}{c|cccccc} x & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4\\ \hline y & 1 & 0 & -2 & 6 & 4 & 3 \end{array} \]

Ветви гиперболы:

• при \(x>0\) график выше прямой \(y=2\);
• при \(x<0\) график ниже прямой \(y=2\).

График пересекает ось \(Ox\) в точке \((-2;0)\), так как
\[ \frac4x+2=0 \Rightarrow x=-2. \]

Проверка: подставляем точки в формулы — значения совпадают, значит графики построены верно. Главное: сначала находим асимптоты, затем отмечаем 5–6 точек и плавно проводим ветви, не пересекая асимптоты.