Реши задание на изображении
Краткий ответ:
\[
x=-3,\ -2,\ 2,\ 3
\]
или короче:
\[
x=\pm2,\ \pm3.
\]
Как решать:
Уравнение: \[ x^4-13x^2+36=0. \]
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: \[ t=x^2,\quad t\ge0. \]
Тогда \(x^4=t^2\), и уравнение превращается в квадратное: \[ t^2-13t+36=0. \]
Находим дискриминант: \[ D=13^2-4\cdot36=169-144=25, \] \[ \sqrt D=5. \]
Корни: \[ t_{1,2}=\frac{13\pm5}{2}. \] Значит: \[ t_1=9,\qquad t_2=4. \]
Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3, \] \[ x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2. \]
Проверка: например, при \(x=2\): \[ 2^4-13\cdot2^2+36=16-52+36=0. \] При \(x=3\): \[ 3^4-13\cdot3^2+36=81-117+36=0. \] Отрицательные корни дают тот же результат, потому что степень чётная.
Ответ: \(\boxed{x=\pm2,\ \pm3}\).
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение текущей учебной цели: на фото снова биквадратное уравнение, его решаем той же заменой \(t=y^2\).
Читаю уравнение как \[ y^4-23y^2-14=0. \]
Пусть \[ t=y^2,\qquad t\ge 0. \] Тогда: \[ t^2-23t-14=0. \]
Находим дискриминант: \[ D=23^2-4\cdot1\cdot(-14)=529+56=585=9\cdot65. \]
Значит, \[ t=\frac{23\pm 3\sqrt{65}}2. \]
Корень \[ \frac{23-3\sqrt{65}}2<0, \] поэтому для действительных \(y\) он не подходит.
Остаётся: \[ y^2=\frac{23+3\sqrt{65}}2. \]
Следовательно, \[ \boxed{y=\pm\sqrt{\frac{23+3\sqrt{65}}2}}. \]
Ответ: \(\displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{23+3\sqrt{65}}2}\).
