Реши задание на изображении
Краткие ответы
- Функция нечётная.
- \(a=-6\).
- а) \(E(f)=(0;4]\); б) \(E(f)=[-2;2]\).
- \(a=6\), график: \(y=(x-2)^2+2\).
- \(a<0,\ b>0,\ c>0,\ D<0\).
1. Чётность функции
\[ f(x)=\frac{(2x-1)^3-(2x+1)^3}{x},\qquad x\ne0. \]
Раскрываем разность кубов:
\[ (2x-1)^3-(2x+1)^3=-24x^2-2. \]
Значит,
\[ f(x)=\frac{-24x^2-2}{x}=-24x-\frac{2}{x}. \]
Проверяем:
\[ f(-x)=24x+\frac{2}{x}=-f(x). \]
Область определения симметрична относительно нуля, поэтому функция нечётная.
2. Параметр \(a\)
График \(y=x^2+ax-2\) — парабола ветвями вверх. Она убывает левее вершины и возрастает правее неё.
Вершина:
\[ x_0=-\frac{a}{2}. \]
По условию переход происходит при \(x=3\), значит:
\[ -\frac{a}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad a=-6. \]
Проверка:
\[ y=x^2-6x-2=(x-3)^2-11, \]
действительно убывает до \(x=3\) и возрастает после.
3. Область значений
а)
\[ f(x)=\frac{4}{x^2+2x+2}. \]
Выделим полный квадрат:
\[ x^2+2x+2=(x+1)^2+1\ge1. \]
Знаменатель принимает значения от \(1\) до \(+\infty\). Поэтому дробь принимает значения от \(0\) до \(4\), причём \(0\) не достигается:
\[ E(f)=(0;4]. \]
Максимум \(4\) достигается при \(x=-1\).
б)
\[ f(x)=\frac{4x+4}{x^2+2x+2} =\frac{4(x+1)}{(x+1)^2+1}. \]
Обозначим \(t=x+1\). Тогда
\[ f=\frac{4t}{t^2+1}. \]
Пусть \(y\) — значение функции. Тогда
\[ y=\frac{4t}{t^2+1} \quad\Rightarrow\quad yt^2-4t+y=0. \]
Чтобы существовало действительное \(t\), нужен неотрицательный дискриминант:
\[ D=16-4y^2\ge0, \]
\[ y^2\le4, \]
\[ -2\le y\le2. \]
Оба конца достигаются: при \(t=1\) получаем \(2\), при \(t=-1\) получаем \(-2\). Значит,
\[ E(f)=[-2;2]. \]
4. График \(y=x^2-4x+a\)
Выделяем полный квадрат:
\[ y=x^2-4x+a=(x-2)^2+a-4. \]
Наименьшее значение равно \(a-4\). По условию оно равно \(2\):
\[ a-4=2 \quad\Rightarrow\quad a=6. \]
Тогда
\[ y=x^2-4x+6=(x-2)^2+2. \]
Это парабола ветвями вверх с вершиной
\[ (2;2), \]
ось симметрии \(x=2\). Точки для построения:
\[ (0;6),\ (1;3),\ (2;2),\ (3;3),\ (4;6). \]
График не пересекает ось \(Ox\), так как \(y_{\min}=2>0\).
5. Знаки коэффициентов по графику
Ветви параболы направлены вниз, значит
\[ a<0. \]График пересекает ось \(Oy\) выше начала координат, значит
\[ c>0. \]Вершина находится правее оси \(Oy\), то есть \(x_0>0\). Но
\[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] Так как \(a<0\), из \(x_0>0\) следует: \[ b>0. \]Парабола не пересекает ось \(Ox\), значит уравнение \(ax^2+bx+c=0\) не имеет действительных корней, поэтому
\[ D<0. \]
Ответ:
\[
\boxed{a<0,\qquad b>0,\qquad c>0,\qquad D<0.}
\]
