Реши номер 136
Краткий ответ
Все графики — такие же по форме параболы, как \(y=x^2\), только сдвинутые или перевёрнутые:
- а) \(y=x^2+2\) — шаблон \(y=x^2\) поднят на 2 вверх. Вершина \((0;2)\), ветви вверх.
- б) \(y=-x^2-1\) — шаблон отражён вниз и опущен на 1. Вершина \((0;-1)\), ветви вниз.
- в) \(y=(x+4)^2\) — шаблон сдвинут влево на 4. Вершина \((-4;0)\), ветви вверх.
- г) \(y=-(x-3)^2\) — шаблон сдвинут вправо на 3 и отражён вниз. Вершина \((3;0)\), ветви вниз.
Почему так
Вершина находится там, где выражение в квадрате равно нулю:
\[ x^2=0,\quad (x+4)^2=0,\quad (x-3)^2=0. \]
Знак минус перед квадратом переворачивает ветви вниз. Число, прибавленное ко всей функции, двигает график вверх или вниз. Число в скобке двигает график влево или вправо, причём знак сдвига противоположен знаку в скобке.
Точки для построения
| Функция | Вершина | Контрольные точки |
|---|---|---|
| а) \(y=x^2+2\) | \((0;2)\) | \((\pm1;3)\), \((\pm2;6)\) |
| б) \(y=-x^2-1\) | \((0;-1)\) | \((\pm1;-2)\), \((\pm2;-5)\) |
| в) \(y=(x+4)^2\) | \((-4;0)\) | \((-3;1),(-5;1),(-2;4),(-6;4)\) |
| г) \(y=-(x-3)^2\) | \((3;0)\) | \((4;-1),(2;-1),(5;-4),(1;-4)\) |
Строить удобно так: ставишь вершину, затем от неё вправо и влево на 1 клетку откладываешь 1 клетку вверх при ветвях вверх или 1 клетку вниз при ветвях вниз; на 2 клетки — соответственно 4 клетки. Это и есть шаблон \(y=x^2\).
Проверка
Подстановка координаты вершины даёт:
\[ 0^2+2=2,\qquad -0^2-1=-1, \]
\[ (-4+4)^2=0,\qquad -(3-3)^2=0. \]
Значит, вершины указаны верно. Например, для в) при \(x=-3\): \((-3+4)^2=1\), а для г) при \(x=5\): \(-(5-3)^2=-4\) — это совпадает с таблицей.
