В) и г)
Кратко
в) \(y=\dfrac{4}{x+3}\) — гипербола \(y=\dfrac4x\), сдвинутая влево на 3. Асимптоты: \(x=-3\) и \(y=0\).
г) \(y=\dfrac4x-2\) — та же гипербола, сдвинутая вниз на 2. Асимптоты: \(x=0\) и \(y=-2\).
в) \(y=\dfrac{4}{x+3}\)
Берём базовый график \(y=\dfrac4x\). Замена \(x\) на \(x+3\) означает сдвиг влево на 3: \[ y=\frac4{x+3}=\frac4{x-(-3)}. \]
Асимптоты:
- вертикальная: \(x=-3\), потому что при \(x=-3\) знаменатель равен нулю;
- горизонтальная: \(y=0\), так как при больших \(|x|\) дробь \(\frac4{x+3}\to 0\).
Точки для построения:
\[ (-2;4),\quad (-1;2),\quad \left(0;\frac43\right),\quad (1;1) \] — это правая ветвь.
Для левой ветви: \[ (-4;-4),\quad (-5;-2),\quad (-7;-1). \]
Строим две плавные ветви гиперболы: они приближаются к прямым \(x=-3\) и \(y=0\), но не пересекают их.
Проверка: при \(x=-2\) получаем \(\frac4{1}=4\), при \(x=1\) получаем \(\frac44=1\). Всё сходится.
г) \(y=\dfrac4x-2\)
Это график \(y=\dfrac4x\), сдвинутый вниз на 2. Каждая точка \((x;y)\) переходит в \((x;y-2)\).
Асимптоты:
- вертикальная: \(x=0\), то есть ось \(Oy\);
- горизонтальная: \(y=-2\).
Точки для построения:
Правая ветвь: \[ (1;2),\quad (2;0),\quad (4;-1). \]
Левая ветвь: \[ (-1;-6),\quad (-2;-4),\quad (-4;-3). \]
Здесь ветвь при \(x>0\) пересекает ось \(Ox\) в точке \((2;0)\). Обе ветви приближаются к горизонтальной прямой \(y=-2\).
Проверка: при \(x=4\): \[ \frac44-2=1-2=-1. \] При \(x=-2\): \[ \frac4{-2}-2=-2-2=-4. \] Точки действительно лежат на графике.
Общее правило для похожих заданий:
График \[ y=\frac{k}{x-a}+b \] получается из \(y=\dfrac{k}{x}\) сдвигом на \(a\) по горизонтали и на \(b\) по вертикали. Его асимптоты: \[ x=a,\qquad y=b. \]
