номер 76,78
№ 76. Ответ: \(30\) см.
\(AM\) — медиана, значит \(M\) — середина \(BC\): \[ BC=2\cdot CM=2\cdot 5=10\text{ см}. \]
\(CK\) — медиана, значит \(K\) — середина \(AB\): \[ AB=2\cdot AK=2\cdot 4=8\text{ см}. \]
\(AC=12\) см. Тогда периметр: \[ P_{ABC}=AB+BC+AC=8+10+12=30\text{ см}. \]
Проверка: \(8+10+12=30\) — верно. Медианы здесь нужны только для того, чтобы понять, что \(K\) и \(M\) делят стороны пополам.
№ 78. Нужно доказать, что \(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\).
Дано: \(AM\perp BC\) и \(BM=MC\).
Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(ACM\):
- \(AM\) — общая сторона;
- \(BM=MC\) по условию;
- \(\angle AMB=\angle AMC=90^\circ\), так как \(AM\) — высота.
Значит, \[ \triangle ABM=\triangle ACM \] по двум сторонам и углу между ними.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому \[ \angle BAM=\angle MAC. \]
То есть \(AM\) делит угол \(A\) пополам. Следовательно, \(AM\) — биссектриса треугольника \(ABC\).
Что запомнить: чтобы доказать, что отрезок — биссектриса, нужно доказать равенство двух углов при вершине. Высота даёт прямые углы, а деление стороны пополам — равные отрезки.
