Реши примеры
Кратко по № 178:
\(\;446,\;201,\;35;\quad 4,\;6,\;4;\quad 450,\;600\,000,\;6\,100.\)
Главное правило: в примерах без скобок сначала выполняют умножение и деление — слева направо, а потом сложение и вычитание.
Первый столбец
\[ 954:3+512:4=318+128=446 \]
\[ 234\cdot4-147\cdot5=936-735=201 \]
\[ 672:8-441:9=84-49=35 \]
Второй столбец
\[ 8\cdot8:16=64:16=4 \]
\[ 9\cdot8:12=72:12=6 \]
\[ 7\cdot8:14=56:14=4 \]
Здесь действия одной ступени, поэтому идём строго слева направо.
Третий столбец
\[ 45\,000:100=450 \]
\[ 6\,000\cdot100=600\,000 \]
\[ 6\,000+100=6\,100 \]
При делении на \(100\) убираются два нуля, а при умножении на \(100\) — прибавляются.
Проверка выборочно:
\[ 318\cdot3=954,\qquad 201+735=936=234\cdot4, \] \[ 450\cdot100=45\,000. \]
Если нужен ещё и № 179:
\[ 80:9=8\ (\text{ост. }8) \]
\[ 70:60=1\ (\text{ост. }10) \]
\[ 953:8=119\ (\text{ост. }1) \]
\[ 879:6=146\ (\text{ост. }3) \]
\[ 809:7=115\ (\text{ост. }4) \]
Проверка: \(делитель\cdot частное+остаток=делимое\). Остаток всегда меньше делителя. Последний пример справа обрезан, поэтому его решить нельзя.
Обсуждение
2 сообщенияСделай также только доказательствами
Что здесь считается доказательством. В арифметике утверждение «\(a:b=c\)» доказывается обратным действием: показываем, что \(c\cdot b=a\). А равенство \(x+y=z\) доказывается тем, что \(z-y=x\). Второй инструмент — законы действий (распределительный, сокращение дроби). Ниже каждый ответ подтверждён именно так.
№ 178
1) \(954:3+512:4=446\)
\[ 954:3=318,\ \text{т.к. } 318\cdot3=954\ (318\cdot3=900+54); \] \[ 512:4=128,\ \text{т.к. } 128\cdot4=512; \] \[ 318+128=446,\ \text{т.к. } 446-128=318. \]
Независимая проверка через общий знаменатель: \[ 954:3+512:4=\frac{4\cdot954+3\cdot512}{12}=\frac{3816+1536}{12}=\frac{5352}{12}=446, \] так как \(446\cdot12=5352\). Оба способа дают одно число — ответ доказан.
2) \(234\cdot4-147\cdot5=201\)
\[ 234\cdot4=(200+34)\cdot4=800+136=936 \quad (\text{распределительный закон}); \] \[ 147\cdot5=(100+40+7)\cdot5=500+200+35=735; \] \[ 936-735=201,\ \text{т.к. } 201+735=936. \]
3) \(672:8-441:9=35\)
\[ 672:8=84,\ \text{т.к. } 84\cdot8=672;\qquad 441:9=49,\ \text{т.к. } 49\cdot9=441; \] \[ 84-49=35,\ \text{т.к. } 35+49=84. \]
4) \(8\cdot8:16=4\)
\[ 8\cdot8:16=\frac{8\cdot8}{16}=\frac{8\cdot8}{8\cdot2}=\frac{8}{2}=4 \quad (\text{сокращение дроби}), \] контроль: \(4\cdot16=64=8\cdot8\).
5) \(9\cdot8:12=6\)
\[ 9\cdot8:12=\frac{72}{12}=6,\ \text{т.к. } 6\cdot12=72; \] сокращение: \(\dfrac{9\cdot8}{12}=\dfrac{72}{12}=\dfrac{6\cdot12}{12}=6\).
6) \(7\cdot8:14=4\)
\[ 7\cdot8:14=\frac{7\cdot8}{7\cdot2}=\frac{8}{2}=4,\ \text{т.к. } 4\cdot14=56=7\cdot8. \]
Почему в 4–6 порядок не важен: \(a\cdot b:c=\dfrac{ab}{c}\) — это одно и то же число, и оно единственно. (Порядок «слева направо» существен только там, где деление стоит перед умножением: \(a:b\cdot c\ne a:(b\cdot c)\).)
7) \(45\,000:100=450\)
\[ 45\,000:100=\frac{45\cdot1000}{100}=45\cdot10=450,\ \text{т.к. } 450\cdot100=45\,000. \]
8) \(6\,000\cdot100=600\,000\)
\[ 600\,000:100=6\,000 \ \Rightarrow\ 6\,000\cdot100=600\,000. \]
9) \(6\,000+100=6\,100\)
\[ 6\,100-100=6\,000 \ \Rightarrow\ 6\,000+100=6\,100. \]
№ 179 (доказательство — через равенство «делимое = делитель · частное + остаток» и \(0\le \text{остаток} < \text{делитель}\))
\[ 80=9\cdot8+8,\quad 8<9 \Rightarrow 80:9=8\ (\text{ост. }8); \] \[ 70=60\cdot1+10,\quad 10<60 \Rightarrow 70:60=1\ (\text{ост. }10); \] \[ 953=8\cdot119+1=952+1,\quad 1<8 \Rightarrow 953:8=119\ (\text{ост. }1); \] \[ 879=6\cdot146+3=876+3,\quad 3<6 \Rightarrow 879:6=146\ (\text{ост. }3); \] \[ 809=7\cdot115+4=805+4,\quad 4<7 \Rightarrow 809:7=115\ (\text{ост. }4). \]
Так как остаток меньше делителя и такое представление единственно, найденные частные — единственно возможные, то есть доказаны.
