Хорошо, оформляю всё по порядку и подробно — с пояснением каждого шага.

Задание 5. При каких \(b\) уравнение имеет два различных действительных корня

Общее правило: для квадратного уравнения \(Ax^2+Bx+C=0\) два различных действительных корня бывают тогда и только тогда, когда дискриминант \[ D=B^2-4AC>0. \] Если \(D=0\), корень один; если \(D<0\), действительных корней нет.

---

а) \(2x^2+6x+b=0\)

Здесь \(A=2,\ B=6,\ C=b\). Считаем дискриминант: \[ D=6^2-4\cdot2\cdot b=36-8b. \] Нужно \(D>0\): \[ 36-8b>0, \] \[ -8b>-36, \] \[ b<\frac{36}{8}=\frac92. \]

Ответ: \(b<\dfrac92\), то есть \(b\in\left(-\infty;\dfrac92\right)\).

---

б) \(5x^2-4x+3b=0\)

Здесь \(A=5,\ B=-4,\ C=3b\): \[ D=(-4)^2-4\cdot5\cdot3b=16-60b. \] Условие: \[ 16-60b>0, \] \[ -60b>-16, \] \[ b<\frac{16}{60}=\frac4{15}. \]

Ответ: \(b<\dfrac4{15}\), то есть \(b\in\left(-\infty;\dfrac4{15}\right)\).

---

в) \(3x^2+bx+3=0\)

Здесь \(A=3,\ B=b,\ C=3\): \[ D=b^2-4\cdot3\cdot3=b^2-36. \] Нужно: \[ b^2-36>0, \] \[ (b-6)(b+6)>0. \] Произведение положительно, когда множители одного знака:

• \(b>6\) — оба множителя положительны;
• \(b<-6\) — оба множителя отрицательны.

Ответ: \(b<-6\) или \(b>6\), то есть \[ b\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty). \]

---

г) \(x^2+bx+5=0\)

Здесь \(A=1,\ B=b,\ C=5\): \[ D=b^2-4\cdot1\cdot5=b^2-20. \] Нужно: \[ b^2-20>0, \] \[ (b-\sqrt{20})(b+\sqrt{20})>0. \] Так как \(\sqrt{20}=2\sqrt5\), получаем: \[ b<-2\sqrt5 \quad \text{или} \quad b>2\sqrt5. \]

Ответ: \(b\in(-\infty;-2\sqrt5)\cup(2\sqrt5;+\infty)\).

---

Задание 6. Решить уравнения

а) \(2x^2-(a-1)x+(a+1)=0\)

Это квадратное уравнение относительно \(x\), где \(a\) — параметр. Коэффициенты: \[ A=2,\quad B=-(a-1),\quad C=a+1. \] Находим дискриминант: \[ D=(a-1)^2-4\cdot2\cdot(a+1)= \] \[ =a^2-2a+1-8a-8=a^2-10a-7. \]

Корни: \[ x_{1,2}=\frac{a-1\pm\sqrt{a^2-10a-7}}{4}. \]

Теперь разберём, когда корни действительные. Решим \(D=0\): \[ a^2-10a-7=0, \] \[ a=\frac{10\pm\sqrt{100+28}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{128}}{2}= \frac{10\pm8\sqrt2}{2}=5\pm4\sqrt2. \]

Значит:

1. Если \[ a<5-4\sqrt2 \quad \text{или}\quad a>5+4\sqrt2, \] то \(D>0\), и есть два различных корня: \[ x_{1,2}=\frac{a-1\pm\sqrt{a^2-10a-7}}{4}. \]

2. Если \[ a=5-4\sqrt2 \quad \text{или}\quad a=5+4\sqrt2, \] то \(D=0\), корень один: \[ x=\frac{a-1}{4}. \] Можно подставить и упростить: \[ x=\frac{5\pm4\sqrt2-1}{4}=\frac{4\pm4\sqrt2}{4}=1\pm\sqrt2. \] То есть при \(a=5+4\sqrt2\) корень \(x=1+\sqrt2\), а при \(a=5-4\sqrt2\) корень \(x=1-\sqrt2\).

3. Если \[ 5-4\sqrt2<a<5+4\sqrt2, \] то \(D<0\), действительных корней нет.

Ответ:

• при \(a\in(-\infty;5-4\sqrt2)\cup(5+4\sqrt2;+\infty)\) \[ x_{1,2}=\frac{a-1\pm\sqrt{a^2-10a-7}}{4}; \]
• при \(a=5\pm4\sqrt2\) \[ x=1\pm\sqrt2 \quad (\text{корень один}); \]
• при \(a\in(5-4\sqrt2;\,5+4\sqrt2)\) действительных корней нет.

---

б) \(ax^2-(a+1)x+1=0\)

Сначала замечаем, что левую часть можно разложить на множители. Проверяем: \[ (x-1)(ax-1)=ax^2-x-ax+1=ax^2-(a+1)x+1. \] Всё совпало. Значит уравнение равносильно \[ (x-1)(ax-1)=0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-1=0 \quad \text{или}\quad ax-1=0. \] Отсюда: \[ x=1 \quad \text{или}\quad ax=1. \]

Дальше важен случай \(a=0\), потому что на него нельзя делить.

1. Если \(a=0\), то уравнение принимает вид \[ -x+1=0, \] откуда \[ x=1. \]

2. Если \(a\ne0\), то \[ x=1 \quad \text{или}\quad x=\frac1a. \] При \(a=1\) эти значения совпадают: \(x=1\), поэтому корень один.

Ответ:

• при \(a=0\): \(x=1\);
• при \(a\ne0,\ a\ne1\): \(x=1\) или \(x=\dfrac1a\);
• при \(a=1\): \(x=1\).

---

в) \(y^3-6y=0\)

Выносим общий множитель \(y\): \[ y(y^2-6)=0. \] Произведение равно нулю, значит: \[ y=0 \quad \text{или}\quad y^2-6=0. \] Из второго: \[ y^2=6, \] \[ y=\pm\sqrt6. \]

Ответ: \(y=0,\ y=\sqrt6,\ y=-\sqrt6\).

---

г) \(9x^3-18x^2-x+2=0\)

Решаем способом группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых: \[ (9x^3-18x^2)-(x-2)=0. \] В первой скобке вынесем \(9x^2\): \[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0. \] Теперь вынесем общий множитель \((x-2)\): \[ (x-2)(9x^2-1)=0. \] Далее: \[ x-2=0 \quad \text{или}\quad 9x^2-1=0. \] \[ x=2 \quad \text{или}\quad x^2=\frac19. \] \[ x=2 \quad \text{или}\quad x=\pm\frac13. \]

Ответ: \(x=2,\ x=\dfrac13,\ x=-\dfrac13\).

---

д) \(6x^4+3{,}6x^2=0\)

Выносим \(x^2\): \[ x^2(6x^2+3{,}6)=0. \] Значит: \[ x^2=0 \quad \text{или}\quad 6x^2+3{,}6=0. \] Из первого: \[ x=0. \] Второе уравнение: \[ 6x^2=-3{,}6, \] \[ x^2=-0{,}6. \] Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней здесь нет.

Ответ: \(x=0\).

---

е) \(y^4-y^3-16y^2+16y=0\)

Снова группируем. Сначала вынесем общий множитель \(y\): \[ y(y^3-y^2-16y+16)=0. \] Теперь группируем выражение в скобках: \[ y^3-y^2-16y+16=(y^3-y^2)-(16y-16)= \] \[ =y^2(y-1)-16(y-1)=(y-1)(y^2-16). \] Получаем: \[ y(y-1)(y^2-16)=0. \] Разложим \(y^2-16\): \[ y^2-16=(y-4)(y+4). \] Итого: \[ y(y-1)(y-4)(y+4)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ y=0,\quad y=1,\quad y=4,\quad y=-4. \]

Ответ: \(y=0,\ y=1,\ y=4,\ y=-4\).

---

Краткая проверка ответов

• В №5 везде использовано строгое неравенство \(D>0\), потому что нужны два различных корня. Поэтому границы не включаются.
• В №6а дискриминант зависит от параметра, поэтому ответ разбит на три случая.
• В №6б нельзя забывать случай \(a=0\): при нём уравнение перестаёт быть квадратным.
• В №6в, г, е использовано разложение на множители: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю.
• В №6д второе уравнение не даёт действительных корней, потому что \(x^2\ge0\).

Хорошо, переоформляю всё по порядку и с нормальными отступами.
В №5 считаю, что нужны два различных действительных корня, поэтому берём \(D>0\).

---

№5

а) \(2x^2+6x+b=0\)

\[ D=6^2-4\cdot2\cdot b=36-8b \]

Два корня:

\[ 36-8b>0 \]

\[ -8b>-36 \]

\[ b<\frac{36}{8}=\frac92 \]

Ответ: \(\displaystyle b<\frac92\), или \(\displaystyle b\in\left(-\infty;\frac92\right)\).

---

б) \(5x^2-4x+3b=0\)

\[ D=(-4)^2-4\cdot5\cdot3b=16-60b \]

\[ 16-60b>0 \]

\[ -60b>-16 \]

\[ b<\frac{16}{60}=\frac4{15} \]

Ответ: \(\displaystyle b<\frac4{15}\), или \(\displaystyle b\in\left(-\infty;\frac4{15}\right)\).

---

в) \(3x^2+bx+3=0\)

\[ D=b^2-4\cdot3\cdot3=b^2-36 \]

\[ b^2-36>0 \]

\[ b^2>36 \]

\[ b<-6 \quad \text{или} \quad b>6 \]

Ответ: \(\displaystyle b\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)\).

---

г) \(x^2+bx+5=0\)

\[ D=b^2-4\cdot1\cdot5=b^2-20 \]

\[ b^2-20>0 \]

\[ b^2>20 \]

\[ b<-\sqrt{20} \quad \text{или} \quad b>\sqrt{20} \]

Так как \(\sqrt{20}=2\sqrt5\), получаем:

Ответ: \(\displaystyle b<-2\sqrt5\) или \(\displaystyle b>2\sqrt5\).

То есть:

\[ b\in(-\infty;-2\sqrt5)\cup(2\sqrt5;+\infty) \]

---

№6

а) \(2x^2-(a-1)x+a+1=0\)

Сначала найдём дискриминант:

\[ D=(a-1)^2-4\cdot2\cdot(a+1) \]

\[ D=a^2-2a+1-8a-8 \]

\[ D=a^2-10a-7 \]

Теперь найдём, когда \(D=0\):

\[ a^2-10a-7=0 \]

\[ a=\frac{10\pm\sqrt{100+28}}{2} \]

\[ a=\frac{10\pm\sqrt{128}}{2} \]

Так как \(\sqrt{128}=8\sqrt2\), то:

\[ a=\frac{10\pm8\sqrt2}{2}=5\pm4\sqrt2 \]

Значит, возможны три случая.

1. \(D>0\)

\[ a<5-4\sqrt2 \quad \text{или} \quad a>5+4\sqrt2 \]

Тогда два корня:

\[ x_{1,2}=\frac{a-1\pm\sqrt{a^2-10a-7}}{4} \]

2. \(D=0\)

\[ a=5-4\sqrt2 \quad \text{или} \quad a=5+4\sqrt2 \]

Тогда один корень:

\[ x=\frac{a-1}{4} \]

То есть:

\[ x=1-\sqrt2 \quad \text{или} \quad x=1+\sqrt2 \]

3. \(D<0\)

\[ 5-4\sqrt2<a<5+4\sqrt2 \]

В этом случае действительных корней нет.

Ответ:

• при \(a<5-4\sqrt2\) или \(a>5+4\sqrt2\): \[ x_{1,2}=\frac{a-1\pm\sqrt{a^2-10a-7}}{4} \]
• при \(a=5\pm4\sqrt2\): \[ x=\frac{a-1}{4} \]
• при \(5-4\sqrt2<a<5+4\sqrt2\): действительных корней нет.

---

б) \(ax^2-(a+1)x+1=0\)

Разложим на множители:

\[ ax^2-(a+1)x+1=(x-1)(ax-1) \]

Проверка:

\[ (x-1)(ax-1)=ax^2-x-ax+1=ax^2-(a+1)x+1 \]

Верно.

Теперь рассмотрим два случая.

1. \(a=0\)

Уравнение превращается в:

\[ -x+1=0 \]

\[ x=1 \]

2. \(a\ne0\)

\[ (x-1)(ax-1)=0 \]

Значит:

\[ x-1=0 \quad \text{или} \quad ax-1=0 \]

\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac1a \]

Если \(a=1\), то корни совпадают:

\[ x=1 \]

Ответ:

• при \(a=0\): \(x=1\);
• при \(a\ne0\): \(\displaystyle x=1\) или \(\displaystyle x=\frac1a\);
• при \(a=1\): один корень \(x=1\).

---

в) \(y^3-6y=0\)

Вынесем \(y\):

\[ y(y^2-6)=0 \]

Значит:

\[ y=0 \]

или

\[ y^2-6=0 \]

\[ y^2=6 \]

\[ y=\sqrt6 \quad \text{или} \quad y=-\sqrt6 \]

Ответ:

\[ y=0,\quad y=\sqrt6,\quad y=-\sqrt6 \]

---

г) \(9x^3-18x^2-x+2=0\)

Сгруппируем:

\[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0 \]

Вынесем общий множитель \(x-2\):

\[ (x-2)(9x^2-1)=0 \]

Значит:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad 9x^2-1=0 \]

\[ x=2 \]

или

\[ 9x^2=1 \]

\[ x^2=\frac19 \]

\[ x=\frac13 \quad \text{или} \quad x=-\frac13 \]

Ответ:

\[ x=2,\quad x=\frac13,\quad x=-\frac13 \]

---

д) \(6x^4+3{,}6x^2=0\)

Вынесем \(x^2\):

\[ x^2(6x^2+3{,}6)=0 \]

Значит:

\[ x^2=0 \]

или

\[ 6x^2+3{,}6=0 \]

Но:

\[ 6x^2+3{,}6>0 \]

при любом действительном \(x\), поэтому второй множитель не равен нулю.

Остаётся:

\[ x^2=0 \]

\[ x=0 \]

Ответ:

\[ x=0 \]

---

е) \(y^4-y^3-16y^2+16y=0\)

Сначала вынесем \(y\):

\[ y(y^3-y^2-16y+16)=0 \]

Внутри сгруппируем:

\[ y^3-y^2-16y+16 \]

\[ =y^2(y-1)-16(y-1) \]

\[ =(y-1)(y^2-16) \]

Тогда всё уравнение:

\[ y(y-1)(y^2-16)=0 \]

Разложим \(y^2-16\):

\[ y^2-16=(y-4)(y+4) \]

Получаем:

\[ y(y-1)(y-4)(y+4)=0 \]

Значит:

\[ y=0 \]

или

\[ y-1=0 \Rightarrow y=1 \]

или

\[ y-4=0 \Rightarrow y=4 \]

или

\[ y+4=0 \Rightarrow y=-4 \]

Ответ:

\[ y=0,\quad y=1,\quad y=4,\quad y=-4 \]

---

Если под «двумя корнями» в №5 учитель имеет в виду не различные, а просто действительные корни с учётом совпадения, тогда в №5 знак \(>\) нужно заменить на \(\ge\). Но обычно в таких заданиях «два корня» — это два различных корня.