189
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} \text{а) }&x\in(-5;10);\\ \text{б) }&m\in(-9;1);\\ \text{в) }&y\in(-\infty;-2)\cup\left(\tfrac23;+\infty\right);\\ \text{г) }&p\in\left(-\infty;-\tfrac74\right)\cup\left(\tfrac32;+\infty\right);\\ \text{д) }&x\in\left(-\infty;\tfrac32\right)\cup\left(\tfrac32;+\infty\right),\ \text{то есть }x\ne\tfrac32;\\ \text{е) }&x\in\left(-\infty;\tfrac13\right)\cup\left(\tfrac13;+\infty\right),\ \text{то есть }x\ne\tfrac13. \end{aligned} \]
Принцип решения
Квадратное неравенство сводим к виду \(ax^2+bx+c>0\) или \(ax^2+bx+c<0\). Затем:
- Находим корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
- Если \(a>0\), парабола направлена ветвями вверх: между корнями выражение отрицательно, а вне корней — положительно.
- Если \(a<0\), можно умножить неравенство на \(-1\), поменяв знак неравенства.
- При строгом неравенстве корни на числовой прямой выкалываются.
- Если дискриминант равен нулю, выражение имеет вид \(a(x-x_0)^2\). Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=x_0\).
Разбор пунктов
а) \(x^2-5x-50<0\).
\[ D=25+200=225=15^2,\qquad x_1=-5,\quad x_2=10. \]
Ветви параболы вверх, знак «минус» — между корнями:
\[ -5<x<10. \]
б) \(-m^2-8m+9>0\).
Умножим на \(-1\), знак неравенства меняется:
\[ m^2+8m-9<0. \]
\[ D=64+36=100,\qquad m_1=-9,\quad m_2=1. \]
Берём промежуток между корнями:
\[ -9<m<1. \]
в) \(3y^2+4y-4>0\).
\[ D=16+48=64,\qquad y_1=-2,\quad y_2=\frac23. \]
Ветви вверх, знак «плюс» — вне корней:
\[ y<-2\quad\text{или}\quad y>\frac23. \]
г) \(8p^2+2p>21\), то есть
\[ 8p^2+2p-21>0. \]
\[ D=4+672=676=26^2, \]
\[ p_1=-\frac74,\qquad p_2=\frac32. \]
Знак «плюс» — вне корней:
\[ p<-\frac74\quad\text{или}\quad p>\frac32. \]
д) \(12x-9<4x^2\).
Перенесём всё в одну сторону:
\[ 4x^2-12x+9>0. \]
\[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2. \]
Квадрат больше нуля всюду, кроме точки, где он равен нулю:
\[ 2x-3\ne0,\qquad x\ne\frac32. \]
е) \(-9x^2<1-6x\).
\[ 9x^2-6x+1>0, \]
\[ (3x-1)^2>0. \]
Значит,
\[ 3x-1\ne0,\qquad x\ne\frac13. \]
Проверка
В пункте а при \(x=0\): \(-50<0\) — верно, значит \(0\) входит в ответ. При \(x=11\): \(121-55-50=16>0\) — неверно, значит \(11\) не входит.
В пункте д при \(x=\frac32\): \(18-9=9<9\) — неверно, поэтому точка \(\frac32\) исключена. В пункте е при \(x=\frac13\): \(-1<-1\) — неверно, поэтому \(\frac13\) также исключена.
