Реши задание на изображении

Краткий ответ: \(\boxed{\dfrac{\pi}{2}}\) — вариант №4.

Как решать

Дано: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Синус равен \(\frac{\sqrt2}{2}\), когда угол равен \[ \frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad \frac{3\pi}{4}+2\pi k. \]

Значит: \[ \frac{\pi}{4}+x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \] откуда \[ x=2\pi k. \]

Или: \[ \frac{\pi}{4}+x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \] откуда \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Получаем две серии корней: \[ x=2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

Наименьший положительный корень:

• из первой серии при \(k=1\): \(x=2\pi\);
• из второй серии при \(k=0\): \(x=\frac{\pi}{2}\).

Поэтому: \[ \boxed{x_{\min}=\frac{\pi}{2}} \]

Проверка

\[ \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right) =\sin\frac{3\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}. \] Всё верно.

Заметь: \(x=0\) тоже является корнем, но он не положительный.