Эртен текшеруу Иш мени даярда толук кайталайбыз темаларды
Саламатсызбы! Текшерүү ишке даярданууга жардам берем, бирок азырынча так эмнени кайталаарыбызды билбей жатам: тизмеде темалар да, окуу китебиңдин бөлүмдөрү да, мисал келтирилген эмес.
11-класста геометриядан көбүнчө ушул темалар текшерилет:
- Стереометриянын негиздери: аксиомалар, мейкиндиктеги түз сызыктар жана тегиздиктер
- Түз сызык менен тегиздиктин параллелдүүлүгү жана перпендикулярдуулугу
- Көп грандыктар: призма, пирамида, кесилген пирамида
- Айлануу денелери: цилиндр, конус, шар
- Беттин аянты жана көлөм формулалары
- Векторлор жана координаталар ыкмасы
Кайсы темалар экенин айтсаң (же мугалим берген тизмени жөнөтсөң), ошолор боюнча теорияны кыскача кайталап, типтүү маселелерди кадам-кадам менен чыгарып берем.
Обсуждение
4 сообщенияПараллелипеттин беттик Жана жалпы аянтын табуу пирамиданын беттик аянтын табуу ж.б. азыркыдан 11де окуган нерселерди кайталоо азыркы учурдан мурункуну
Кайталоо: беттик аянттар (11-класс)
1. Негизги формулалар
Тик бурчтуу параллелепипед (кырлары $a, b, c$, бийиктиги $h=c$):
$$S_{\text{каптал}} = P_{\text-{негиз}} \cdot h = 2(a+b),c$$
$$S_{\text{толук}} = 2(ab + bc + ac)$$
Призма (жалпы): $S_{\text{каптал}} = P_{\text{негиз}} \cdot h$, $;S_{\text{толук}} = S_{\text{каптал}} + 2S_{\text{негиз}}$
Туура пирамида (негизи туура көп бурчтук, апофема $l$):
$$S_{\text{каптал}} = \tfrac{1}{2} P_{\text{негиз}} \cdot l, \qquad S_{\text{толук}} = S_{\text{каптал}} + S_{\text{негиз}}$$
Кесилген пирамида: $S_{\text{каптал}} = \tfrac{1}{2}(P_1 + P_2)\cdot l$
2. Мисал 1 — параллелепипед
$a=3$, $b=4$, $c=5$.
- $P_{\text{негиз}} = 2(3+4) = 14$
- $S_{\text{каптал}} = 14 \cdot 5 = 70$
- $S_{\text{толук}} = 2(3\cdot4 + 4\cdot5 + 3\cdot5) = 2(12+20+15) = 94$
Жооп: 70 жана 94.
3. Мисал 2 — туура төрт бурчтуу пирамида
Негизинин жагы $a=6$, апофема $l=5$.
- $P_{\text{негиз}} = 4\cdot6 = 24$
- $S_{\text{каптал}} = \tfrac{1}{2}\cdot24\cdot5 = 60$
- $S_{\text{негиз}} = 6^2 = 36$
- $S_{\text{толук}} = 60 + 36 = 96$
Бул жерде пирамиданын бийиктиги: $h=\sqrt{l^2-(a/2)^2}=\sqrt{25-9}=4$.
Эң көп кетирилген ката: апофема $l$ менен пирамиданын бийиктиги $h$-ты аралаштыруу. $l$ — каптал жагынын бийиктиги (негиздин ичинен өтөт), $h$ — чокудан негиздин борборуна түшкөн бийиктик.
4. Кыскача калгандары
- Цилиндр: $S_{\text{каптал}} = 2\pi Rh$, $S_{\text{толук}} = 2\pi R(R+h)$
- Конус: $S_{\text{каптал}} = \pi R l$, $S_{\text{толук}} = \pi R(R+l)$
- Шар: $S = 4\pi R^2$
5. Өзүң текшер
А) Параллелепипед: $a=5$, $b=2$, $c=4$. Каптал жана толук аянт? Б) Туура үч бурчтуу пирамида: $a=6$, $l=8$. Каптал жана толук аянт?
Жооптор: А) 56 жана 76. Б) $S_{\text{каптал}}=72$; $S_{\text{негиз}}=9\sqrt3$; $S_{\text{толук}}=72+9\sqrt3 \approx 87{,}6$.
Кийинки кадамды тандайлы: кесилген пирамида боюнча маселе чыгарабызбы, же цилиндр/конус бөлүмүнө өтөбүзбү?
Р эмне
$P$ — периметр, башкача айтканда негиздин бардык жактарынын узундуктарынын суммасы. Формулаларда $P_{\text{негиз}}$ деп жазылган — «негиздин периметири» дегенди билдирет.
Кантип эсептелет
| Негиздин формасы | Периметр |
|---|---|
| Квадрат (жагы $a$) | $P = 4a$ |
| Тик бурчтук ($a$, $b$) | $P = 2(a+b)$ |
| Үч бурчтук ($a,b,c$) | $P = a+b+c$ |
| Туура $n$ бурчтук (жагы $a$) | $P = n\cdot a$ |
Мисал менен текшерели
Туура төрт бурчтуу пирамида, негизинин жагы $a=6$:
$$P_{\text{негиз}} = 4 \cdot 6 = 24$$
Анда $S_{\text{каптал}} = \tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ — бул мисалдагы эсеп дал ушундан чыккан.
Эмне үчүн так ушундай формула
Каптал бети — бул негиздин ар бир жагы менен апофема түзгөн үч бурчтуктардын суммасы. Ар бир үч бурчтуктун аянты $\tfrac{1}{2}\cdot a \cdot l$. Бардык жактарды кошсок:
$$S_{\text{каптал}} = \tfrac{1}{2}l,(a_1+a_2+\dots+a_n) = \tfrac{1}{2}P\cdot l$$
Ошондуктан жактардын саны канча болсо да, формула бирдей иштейт.
Кыскача: $P$ — негиздин четинин узундуктарынын суммасы, ал эми $l$ — апофема (каптал жагынын бийиктиги). Ушул экөөнү алмаштырбасаң, эсеп дайыма туура чыгат.
Кийинки маселеге өтөбүзбү — кесилген пирамида же цилиндр/конус?
