Выполни как в тетради
Краткий ответ
- \(C_{14}^{7}=3432,\quad C_{14}^{5}=2002,\quad C_{20}^{10}=184756\).
- Треугольник Паскаля строится по правилу
\[ C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}, \] по краям стоят единицы. Строки \(n=0,\ldots,20\) записаны ниже. - В задаче 3: \[ P(A)=P(X=25)\approx0{,}0954,\quad P(B)=P(X<25)\approx0{,}4341,\quad P(C)=P(X>25)\approx0{,}4705. \]
Задание 1
Формула числа сочетаний: \[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
Тогда: \[ C_{14}^{7}=\frac{14!}{7!\,7!}=3432; \] \[ C_{14}^{5}=\frac{14!}{5!\,9!}=2002; \] \[ C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!\,10!}=184756. \]
В Excel это можно проверить так: \[ \text{=ЧИСЛОСОЧЕТАНИЙ(14;7)},\quad \text{=ЧИСЛОСОЧЕТАНИЙ(14;5)},\quad \text{=ЧИСЛОСОЧЕТАНИЙ(20;10)}. \]
Ответ: \(3432;\ 2002;\ 184756\).
Задание 2
Используем свойства треугольника Паскаля:
- крайние числа каждой строки равны \(1\);
- каждое внутреннее число равно сумме двух чисел над ним: \[ C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}; \]
- строка симметрична: \[ C_n^k=C_n^{n-k}. \]
Ниже строки при нумерации \(n=0\) — верхняя строка.
n=0 : 1
n=1 : 1 1
n=2 : 1 2 1
n=3 : 1 3 3 1
n=4 : 1 4 6 4 1
n=5 : 1 5 10 10 5 1
n=6 : 1 6 15 20 15 6 1
n=7 : 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8 : 1 8 28 56 70 56 28 8 1
n=9 : 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
n=10: 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
n=11: 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
n=12: 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
n=13: 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
n=14: 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
n=15: 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
n=16: 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
n=17: 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1
n=18: 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
n=19: 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1
n=20: 1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1
В строке \(n=14\) видим \(2002\) и \(3432\), а в строке \(n=20\) — \(184756\).
Задание 3
План решения для тетради
- Всего студентов: \[ N=950. \]
- В первом опросе участвовали: \[ K=120. \]
- Во второй опрос случайно отобрали: \[ n=200. \]
- \(X\) — число студентов из этой выборки, которые также участвовали в первом опросе.
- Выборка без возвращения, поэтому \(X\) имеет гипергеометрическое распределение.
Формула вероятности
\[ P(X=k)=\frac{C_{120}^{k}\cdot C_{830}^{200-k}}{C_{950}^{200}}, \qquad k=0,\ldots,120. \]
Вычисления
Событие \(A=\{X=25\}\):
\[ P(A)=\frac{C_{120}^{25}\cdot C_{830}^{175}}{C_{950}^{200}} \approx0{,}09535. \]
Событие \(B=\{X<25\}\):
\[ P(B)=P(X<25)=\sum_{k=0}^{24} \frac{C_{120}^{k}\cdot C_{830}^{200-k}}{C_{950}^{200}} \approx0{,}43414. \]
Событие \(C=\{X>25\}\):
\[ P(C)=P(X>25)=1-P(X\le25) \approx0{,}47050. \]
Проверка
\[ P(A)+P(B)+P(C)\approx1, \] так как события \(X=25\), \(X<25\), \(X>25\) вместе охватывают все возможные значения \(X\).
Excel
В русской версии Excel:
A: =ГИПЕРГЕОМ.РАСП(25;200;120;950;ЛОЖЬ)
B: =ГИПЕРГЕОМ.РАСП(24;200;120;950;ИСТИНА)
C: =1-ГИПЕРГЕОМ.РАСП(25;200;120;950;ИСТИНА)
Ответ для тетради: \[ P(A)\approx0{,}0954,\qquad P(B)\approx0{,}4341,\qquad P(C)\approx0{,}4705. \]
Обсуждение
8 сообщенийРеши как в тетради
Задание 3* — оформление в тетрадь
По условию: \[ N=950,\qquad K=120,\qquad n=200,\qquad k=25. \] Пусть \(X\) — число студентов, которые участвовали и в первом, и во втором опросе.
Так как выборка без возвращения, используем гипергеометрическое распределение: \[ P(X=m)=\frac{C_{120}^{m}\cdot C_{830}^{200-m}}{C_{950}^{200}}. \]
События: \[ A=\{X=25\},\qquad B=\{X<25\},\qquad C=\{X>25\}. \]
Решение
Событие \(A\): \[ P(A)=P(X=25)= \frac{C_{120}^{25}\cdot C_{830}^{175}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}0954. \]
Событие \(B\): \[ P(B)=P(X<25)=\sum_{m=0}^{24} \frac{C_{120}^{m}\cdot C_{830}^{200-m}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}4341. \]
Событие \(C\): \[ P(C)=P(X>25)=1-P(X\le 25). \] Так как \[ P(X\le25)=P(X<25)+P(X=25), \] то \[ P(C)\approx 1-0{,}4341-0{,}0954 \approx 0{,}4705. \]
Проверка
\[ P(A)+P(B)+P(C)\approx 0{,}0954+0{,}4341+0{,}4705=1. \]
Ответ
\[ \boxed{P(A)\approx0{,}0954;\quad P(B)\approx0{,}4341;\quad P(C)\approx0{,}4705.} \]
В Excel:
P(A): =ГИПЕРГЕОМ.РАСП(25;200;120;950;ЛОЖЬ)
P(B): =ГИПЕРГЕОМ.РАСП(24;200;120;950;ИСТИНА)
P(C): =1-ГИПЕРГЕОМ.РАСП(25;200;120;950;ИСТИНА)
Реши как в тетради
Реши как в тетради
Реши как в тетради
Задача 3* (по ранее записанным данным)
Дано: \[ N=950,\qquad K=120,\qquad n=200. \]
Пусть \(X\) — число студентов, которые участвовали в первом опросе и попали во второй.
Выборка без возвращения, поэтому используем гипергеометрическую формулу:
\[
P(X=m)=\frac{C_{120}^{m}\cdot C_{830}^{\,200-m}}{C_{950}^{200}}.
\]
а) Ровно 25 человек
\[ P(X=25)= \frac{C_{120}^{25}\cdot C_{830}^{175}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}0954. \]
б) Меньше 25 человек
\[ P(X<25)= \sum_{m=0}^{24} \frac{C_{120}^{m}\cdot C_{830}^{\,200-m}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}4341. \]
в) Больше 25 человек
\[ P(X>25)=1-P(X\le 25). \] Так как \[ P(X\le25)=P(X<25)+P(X=25)\approx 0{,}4341+0{,}0954=0{,}5295, \] то \[ P(X>25)\approx 1-0{,}5295=0{,}4705. \]
Проверка
\[ 0{,}0954+0{,}4341+0{,}4705=1. \]
Ответ
\[ \boxed{ P(X=25)\approx0{,}0954;\quad P(X<25)\approx0{,}4341;\quad P(X>25)\approx0{,}4705. } \]
Задание 3. Оформление в тетради
Дано: \[ N=950,\quad K=120,\quad n=200. \] \(X\) — число студентов из второго опроса, которые участвовали и в первом.
Найти: \[ P(X=25),\quad P(X<25),\quad P(X>25). \]
Решение.
Так как выборка без возвращения, применяем гипергеометрическое распределение: \[ P(X=k)=\frac{C_K^k\cdot C_{N-K}^{\,n-k}}{C_N^n}. \]
Подставляем данные: \[ P(X=k)=\frac{C_{120}^{k}\cdot C_{830}^{\,200-k}}{C_{950}^{200}}. \]
Событие \(A=\{X=25\}\): \[ P(A)=P(X=25)= \frac{C_{120}^{25}\cdot C_{830}^{175}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}0954. \]
Событие \(B=\{X<25\}\): \[ P(B)=P(X<25)=\sum_{k=0}^{24} \frac{C_{120}^{k}\cdot C_{830}^{\,200-k}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}4341. \]
Событие \(C=\{X>25\}\): \[ P(C)=P(X>25)=1-P(X\le 25). \] При этом \[ P(X\le25)=P(X<25)+P(X=25). \] Значит, \[ P(C)\approx 1-0{,}4341-0{,}0954=0{,}4705. \]
Проверка: \[ P(A)+P(B)+P(C)\approx 0{,}0954+0{,}4341+0{,}4705=1. \]
Ответ: \[ \boxed{ P(A)\approx0{,}0954;\quad P(B)\approx0{,}4341;\quad P(C)\approx0{,}4705. } \]
В Excel (по формулам со страницы 148):
P(X=25): =ГИПЕРГЕОМ.РАСП(25;200;120;950;0)
P(X<25): =ГИПЕРГЕОМ.РАСП(24;200;120;950;1)
P(X>25): =1-ГИПЕРГЕОМ.РАСП(25;200;120;950;1)
Задача 3 — оформление как в тетради
Дано: \[ N=950,\qquad K=120,\qquad n=200. \] Пусть \(X\) — число студентов из 200 отобранных, которые участвовали и в первом опросе.
Так как выборка без возвращения, используем гипергеометрическое распределение: \[ P(X=k)=\frac{C_K^k\cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. \] Подставляем данные: \[ P(X=k)=\frac{C_{120}^{k}\cdot C_{830}^{200-k}}{C_{950}^{200}}, \qquad k=0,1,\ldots,120. \]
а) Ровно 25 человек
\[ P(X=25)= \frac{C_{120}^{25}\cdot C_{830}^{175}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}0954. \]
б) Меньше 25 человек
\[ P(X<25)=P(X\le 24)= \sum_{k=0}^{24} \frac{C_{120}^{k}\cdot C_{830}^{200-k}}{C_{950}^{200}} \approx 0{,}4341. \]
в) Больше 25 человек
\[ P(X>25)=1-P(X\le 25). \] При этом \[ P(X\le25)=P(X<25)+P(X=25). \] Значит, \[ P(X>25)\approx 1-0{,}4341-0{,}0954 =0{,}4705. \]
Проверка
\[ 0{,}0954+0{,}4341+0{,}4705=1. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а) }&P(X=25)\approx0{,}0954;\\ \text{б) }&P(X<25)\approx0{,}4341;\\ \text{в) }&P(X>25)\approx0{,}4705. \end{aligned}} \]
В процентах: примерно \(9{,}54\%\), \(43{,}41\%\) и \(47{,}05\%\).
