номер 5
Краткий ответ
а) \(b<\dfrac92\);
б) \(b<\dfrac{4}{15}\);
в) \(b<-6\) или \(b>6\);
г) \(b<-2\sqrt5\) или \(b>2\sqrt5\).
Как рассуждать
Квадратное уравнение
\[
ax^2+px+q=0
\]
имеет два различных действительных корня, если
\[
a\ne0,\qquad D=p^2-4aq>0.
\]
Во всех пунктах коэффициент при \(x^2\) уже не равен нулю, поэтому считаем только дискриминант.
а)
\[
2x^2+6x+b=0
\]
\[
D=6^2-4\cdot2\cdot b=36-8b.
\]
Нужно:
\[
36-8b>0 \quad\Rightarrow\quad b<\frac{36}{8}=\frac92.
\]
б)
\[
5x^2-4x+3b=0
\]
\[
D=(-4)^2-4\cdot5\cdot3b=16-60b>0.
\]
\[
b<\frac{16}{60}=\frac{4}{15}.
\]
в)
\[
3x^2+bx+3=0
\]
\[
D=b^2-4\cdot3\cdot3=b^2-36>0.
\]
Тогда:
\[
b^2>36 \quad\Rightarrow\quad |b|>6,
\]
то есть
\[
b<-6 \quad\text{или}\quad b>6.
\]
г)
\[
x^2+bx+5=0
\]
\[
D=b^2-4\cdot1\cdot5=b^2-20>0.
\]
Значит:
\[
|b|>2\sqrt5,
\]
то есть
\[
b<-2\sqrt5 \quad\text{или}\quad b>2\sqrt5.
\]
Проверка: например, в пункте а) при \(b=0\) получаем
\[
2x^2+6x=2x(x+3)=0,
\]
корни \(0\) и \(-3\), действительно два корня. А при \(b=5\) дискриминант отрицательный, корней нет.
Важно: при \(D=0\) получается один двукратный корень. Если в вашем учебнике его тоже считают «двумя совпавшими корнями», то границы включаются:
\[
b\le\frac92,\qquad b\le\frac4{15},\qquad |b|\ge6,\qquad |b|\ge2\sqrt5.
\]
