Предприятие выпускает х изделий в день. Общие затраты на производство х изделий определяются формулой С(x) = 4704 +33x + 6x^2 рублей. Средняя себестоимость одного изделия определяется формулой S(x)= C(x)/x. При каком количестве выпускаемых за день изделий средняя се бестоимость одного будет наименьшей? изделия

Ответ: 28 изделий в день.

Средняя себестоимость одного изделия:

\[ S(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{4704+33x+6x^2}{x} =\frac{4704}{x}+33+6x,\quad x>0. \]

Чтобы найти минимум, находим производную:

\[ S'(x)=-\frac{4704}{x^2}+6. \]

Приравниваем к нулю:

\[ -\frac{4704}{x^2}+6=0 \]

\[ 6x^2=4704 \]

\[ x^2=784 \]

\[ x=28 \]

Так как \(x>0\), отрицательный корень не подходит.

Проверим: вторая производная

\[ S''(x)=\frac{9408}{x^3}>0, \]

значит, в точке \(x=28\) действительно минимум.

Средняя себестоимость при этом:

\[ S(28)=\frac{4704}{28}+33+6\cdot 28 =168+33+168=369 \]

то есть 369 рублей за изделие — минимальная средняя себестоимость.