Как сокращать дробь?
Кратко
Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число (не равное нулю). Значение дроби при этом не меняется — меняется только её запись:
$$\frac{a\cdot k}{b\cdot k}=\frac{a}{b}$$
Сокращают до тех пор, пока числитель и знаменатель не станут взаимно простыми (НОД = 1) — такая дробь называется несократимой.
Ключевые шаги
- Найди общий делитель числителя и знаменателя. Способы:
- признаки делимости (на 2, 3, 5, 9…);
- разложение на простые множители;
- НОД по алгоритму Евклида (для больших чисел).
- Раздели оба на этот делитель.
- Повтори, если ещё есть общий делитель.
Пример 1: по шагам
$$\frac{18}{24}$$
Общий делитель 6 (или сначала 2, потом 3 — результат тот же):
$$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}$$
По частям: $\frac{18}{24}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.
Проверка: $18:24=0{,}75$ и $3:4=0{,}75$ — значения равны; НОД(3, 4) = 1, значит дробь несократима. ✔
Пример 2: через простые множители
$$\frac{84}{126}=\frac{2\cdot2\cdot3\cdot7}{2\cdot3\cdot3\cdot7}=\frac{2}{3}$$
Общие множители $2\cdot3\cdot7=42$ «уходят» целиком, остаётся $\frac{2}{3}$.
Пример 3: с буквами
$$\frac{12a^2b}{18ab^2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a^2}{a}\cdot\frac{b}{b^2}=\frac{2a}{3b}$$
Числа сокращаем с числами, одинаковые буквы — с буквами (по правилу степеней $\frac{a^2}{a}=a$).
Главная ловушка
Сокращать можно только множители, а не слагаемые:
- верно: $\dfrac{2(x+3)}{5(x+3)}=\dfrac{2}{5}$;
- неверно: $\dfrac{x+3}{x}=3$ — здесь $x$ в числителе слагаемое, а не множитель.
Чтобы сократить сумму, её сначала раскладывают на множители.
Универсальная проверка ответа: перемножь крест-накрест — $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, если $a\cdot d=b\cdot c$; и убедись, что у новой дроби больше нет общих делителей.
